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un museo ha la pianta quadrata ed è suddiviso in $ n^2 $ stanze quadrate tutte uguali (con $ n>1 $) ogni coppia di stanze adiacenti (cioè con un muro in comune) comunica mediante una porta. il guardiano notturno vuole organizzare il suo giro d'ispezione in modo da rispettare le seguenti regole: il guardiano parte da una certa stanza, dove rimane per un minuto, terminato il quale si sposta in una stanza adiacente, dove rimane per un'altro minuto; il percorso procede collegando stanze adiacenti in ognuna delle quali il guardiano rimane sempre esattamente un minuto prima di spostarsi.
E' consentito ripassare più volte dalla stessa stanza ma alla fine del percorso (che non si trova necessariamente nella stanza d'inizio) il guardiano deve essere stato in ognuna delle $ n^2 $ stanze per esattamente $ k $ minuti.
Determinare per quali interi positivi $ n, k $ è possibile organizzare il percorso rispettando queste regole.

Dunque... direi che per n pari va bene qualunque k, perché è sempre possibile creare un circuito chiuso. Basta partire da un angolo, percorrere tutto il corridoio, e poi ritornare dall'altra parte salendo e scendendo "a serpentina".

Per n dispari invece c'è un problemino, perché colorando alternatamente di bianco e nero le caselle adiacenti, ci accorgiamo che quelle di uno dei colori eccedono di 1. Mettiamo che sia nero. Supponendo di aver completato il percorso e di essere passati esattamente k volte su ogni casella, il nostro percorso dovrà necessariamente iniziare e terminare con un nero, perché passando su caselle adiacenti i colori si alternano. Ma questo è possibile solo dopo un "giro" completo, perché, supponendo di averne fatti due, la casella nera in eccedenza sarà stata attraversata due volte, e quindi avremo dovuto "recuperare" due caselle nere, il che è assurdo.

esatto