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Si scompone $615=3\cdot 5\cdot 41$ .
Si analizza l'equazione modulo 3: $x^2\equiv (-1)^y \pmod 3$ . I residui quadratici modulo 3 sono solo 0 e 1, dunque si ha $y=2n$ per un qualche n naturale.
L'equazione dunque diventa $615=3\cdot 5\cdot 41=(2^n+x)(2^n-x)$ .
Ora impostiamo i vari sistemi di equazioni con la fattorizzazione di 615.
Innanzitutto si nota che dato che $2^n+x$ è positivo, allora anche l'altro fattore deve essere positivo; in secondo luogo, dato che $x>-x$ abbiamo che $2^n+x>2^n-x$ .
I sistemi da risolvere dunque sono:
i)$$\begin{cases}2^n+x=615 \\ 2^n-x=1 \end{cases}$$
Si ha che $2^{n+1}=616$ , che è impossibile.

ii)$$\begin{cases}2^n+x=123 \\ 2^n-x=5 \end{cases}$$
Si ha $2^{n+1}=128$ ; da cui la prima coppia (59,12)

iii)$$\begin{cases}2^n+x=41 \\ 2^n-x=15 \end{cases}$$
$2^{n+1}=56$ ; nessuna soluzione

iv)$$\begin{cases}2^n+x=205 \\ 2^n-x=3 \end{cases}$$
$2^{n+1}=208$ ; nessuna soluzione.

In conclusione l'unica soluzione all'equazione è (x,y)=(59,12)