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Trovare tutte le terne di interi positivi x,y,z tali che $ x^{3}-y^{3}=z^{2} $

per evitarvi brutte sorprese...
$a,b$ qualsiasi, $c=a^3-b^3$
allora $c^4=c^3(a^3-b^3)=c^3a^3-c^3b^3$, quindi $(ac,bc,c^2)$ è una soluzione. e non so nemmeno se sono tutte (anzi, non lo sono, perché esistono soluzioni con $(x,y)=1$ e $z\neq1$, tipo $(37)^3-(-11)^3=228^2$)

Molto interessante, a questo problema non avevo trovato dimostrazione o comunque coppie risolutive definite.

ecco, allora per favore ora specifichi sotto ogni equazione che hai postato se la sai risolvere completamente o no...

Ho notato che la formula che hai trovato funziona poco, dobbiamo generalizzare.
Ora scrivo nelle altre diofantee

Cosa vuol dire funziona poco? se vuoi ti posto la descrizione completa delle soluzioni, ma magari qualcuno vuol fare il problema...

Cosi rapidamente ho provato un paio di casi con la tua soluzione sarà l'orario e non riesco a fare i calcoli. Lascia pure che ci provino gli altri

Scusa, ma te l'ho dimostrato sopra che è una soluzione:
supponi di aver preso due numeri a caso $a,b$
poni $c=a^3-b^3$ e hai
$$(ca)^3-(cb)^3=c^3(a^3-b^3)=c^3c=c^4=(c^2)^2$$
Quindi poni $x=ca$, $y=cb$, $z=c^2$.
E non sono le uniche, perché in tutte queste $(x,y)\geq \sqrt{|z|}$, mentre $x=4103$, $y=3671$, $z=140004$ è una soluzione con $(x,y)=1$ (provate per credere ).

Anche $ x=8,y=7,z=13 $ è soluzione