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Trovare tutte le coppie di interi positivi x,y tali che $ x^{2}+y^{2}=37333 $

Se considero questa equazione modulo 8 ,mi accorgo che $x$ e $y$ devono essere congrui uno a 4 e l'altro a 1. Quindi sostituisco $x\rightarrow 8x_1+1$ e $y\rightarrow 8y_1+4$.
Da qui l'equazione diventa $16x_1^2+4x_1+16y_1^2+16y_1+4=9333$.
Considero ora questa nuova equazione modulo 4, la parte sinistra è congrua a 0 mentre la destra è congrua a 1, quindi non ci sono soluzioni per questa equazione

Stai attento. I residui quadratici di modulo 8 sono 1,4,1,0,1,4,1,0, ne segue che $ x $ non può valere solo $ 4k $, gli altri valori li può assumere (come y), in quanto non esistono residui uguali a 5. Tra l'altro y NON può valere $ 8k+4 $.
Rivedi bene, perchè le soluzioni ci sono

LeZ ha scritto:Stai attento. I residui quadratici di modulo 8 sono 1,4,1,0,1,4,1,0, ne segue che $ x $ non può valere solo $ 4x $ in quanto non esistono residui uguali a 5.

Soluzioni a parte, non credo sia chiarissimo cosa vuoi dire. L'osservazione di ale.G mi sembra (quasi) corretta: $37333\equiv 5\ \ \bmod8$, quindi $x^2+y^2\equiv 5\ \ \bmod 8$. Ora, per l'appunto un quadrato modulo $8$ può essere solo un elemento di $\{0,1,4\}$, quindi l'unica possibilità è che uno sia $1$ e l'altro sia $4$.

Semmai c'è da dire che devono essere $x^2$ e $y^2$ ad essere congrui a $1$ e a $4$, non $x$, $y$, il che lascia un po' più di possibilità.

Diciamo che mi sono espresso male. Chiaramente se $x^{2}$ vale 1 modulo 8, $y^{2}$ deve valere 4 modulo 8. Di certo x e y non possono valere $4k$.
L'osservazione di Ale è principalmente corretta, ma ha analizzato solo 1 caso, difatti esistono soluzioni.

il mio errore è stato quello delle sostituzioni, quelle giuste erano $x=8x_1+2$ e $y=8y_1+1$.

Uhm, no.

@LeZ: quello che volevo dire io è questo: il caso $x\equiv 1$, $y\equiv 4$ non rientra nei casi $x^2+y^2\equiv 5$ ... se tu parti dicendo che $x^2+y^2\equiv 5$, stai già escludendo $x\equiv 1$, $y\equiv 4$.
(infatti $1^2+4^2=17\equiv1\ \bmod 8$)

Un caso possibile sarebbe $x\equiv 1$, $y\equiv 2$, ad esempio. (edit: come ha appena fatto)

@ale.G: e se $x\equiv 1$, $y\equiv 6$ ?

Stai attento che $ x=8k+1,8k+2,8k+3,8k+5,8k+6,8k+7 $ a seconda di quanto valga $ y $, non esistono solo quei casi elencati da te.

Hai ragione io parlo di $ x,y $ elevati al quadrato. $ 1+2^{2}\equiv 5 $, non solo, ma anche $ 3^{2} +2^{2}\equiv 5 $ e altre coppie ordinate ancora.

Mi correggo, non avendo nulla sotto mano, solo la testa e il pc, ho lavorato male, difatti è come dice evariste, .

Anche per questa ho trovato le uniche soluzioni, dimostrando che TUTTE le altre coppie non possono essere verificate.