OliForum Matematico

Intanto mi scuso perchè non sono esattamente sicuro che la sezione sia quella giusta...

Secondo, avrei una domanda: durante i corsi ci siamo soffermati sul lemma di zorn e l'assioma della scelta e nel dimostrarne l'equivalenza il prof ha dimostrato solo l'implicazione lemma->assioma, dicendo che l'altra era relativamente difficile; siccome mi sono incuriosito ho cercato in su internet anche l'altro pezzo della dimostrazione, ma non sono riuscito a trovare niente di valido (anzi, non ho trovato niente..).. Qualcuno potrebbe aiutarmi in questa 'quest'??

Grazie mille !

L'altro pezzo non è lungo, è solo complicato da capire ... io te lo scrivo, ma non te lo spiego XD.

Prendi un insieme $X$ parzialmente ordinato da $<$ dove ogni catena ha un maggiorante. Definisci $f(x)=\{y\in X\ \vert\ x<y\}\in \mathcal{P}(X)$ e poni $f(X)=\{f(x)\ \vert\ x\in X\}$. Un elemento è massimale se e solo se $f(x)=\emptyset$. Supponiamo che non esista. Allora esiste una funzione di scelta $g:f(X)\to X$, quindi una $g$ tale che $g(f(x))\in f(x)$ per ogni $f(x)\in f(X)$, da cui $x<g(x)$.

Ora, per induzione transfinita, definiamo
$g_0(f(x))=x$
$g_{\alpha+1}(f(x))=g(f(g_\alpha(f(x))))$
per ogni ordinale $\alpha$. Se poi $\beta$ è un ordinale limite poniamo
$g_\beta(f(x))=y$
con $y$ un maggiorante della catena $\{g_\gamma(f(x))\}_{\gamma<\beta}$.

Ponendo $h(\alpha)=g_\alpha(f(x))$ per un qualche fissato $x\in X$, otteniamo una mappa da $\mathrm{Ord}$ a $X$. Si vede che, se $\alpha<\beta$, allora $h(\alpha)<h(\beta)$, quindi la mappa $h$ è iniettiva. Ma allora gli ordinali sarebbero un sottoinsieme di $X$, il che non è possibile, perché gli ordinali sono una classe e non un insieme. Quindi ci deve essere $x\in X$ tale che $f(x)=\emptyset$, ovvero un elemento massimale.

grazie mille lo tradurrò io ^^