OliForum Matematico

Direttamente dagli esami di ammissione alla Normale del lontano 1982

Determinare gli interi positivi $ p $ , $ q $ , $ N $ per cui

$ (p+q)^N=2(p^N+q^N) $

dato che $ p+q $ deve essere pari, allora $ p $ e $ q $ hanno la stessa parità.
E' facile notare, quindi, che $ (p,q,N) $ è soluzione se e solo se lo è $ (2p,2q,N) $
Ciò vuol dire che dobbiamo cercare solo le soluzioni con $ p $ e $ q $ dispari

- Poniamo $ N $ pari
dato che $ p $ e $ q $ sono dispari, abbiamo
$ 2(p^N+q^N)=4 $ ( mod 8 )
Ciò vuol dire che
$ 4||(p+q)^N $
e quindi, dato che $ N $ e $ p+q $ sono pari, allora $ N=2 $ e $ p=q=1 (mod 4) $
Quindi un gruppo di soluzioni sono del tipo
$ (2^a(4b-3),2^a(4c-3),2) $
con $ b,c $ interi positivi e $ a $ intero nonnegativo

- poniamo $ N $ dispari
$ p^N+q^N=(p+q)(p^{N-1}-qp^{N-2}+..+q^{N-1}) $
dato che il numero di termini nella seconda parentesi è dispari, allora
$ v_2(p^N+q^N)=v_2(p+q)=t $
Con $ t $ intero positivo
$ 1+v_2(p^N+q^N)=v_2(p+q)^N $
$ 1+t=Nt $
$ t(N-1)=1 $
$ N=2, t=1 $
Il che è impossibile, poichè $ N $ è dispari

exodd ha scritto:e quindi, dato che $ N $ e $ p+q $ sono pari, allora $ N=2 $ e $ p=q=1 (mod 4) $

?
$4||(3+3)^2=4\cdot9$

inoltre le tue terne non sono tutte soluzione... a=0, b=1, c=2 non funziona: $(1+7)^2=64\neq 2\cdot(1+49)=100$

Completo quella di exodd: $N=2$ quindi $(p+q)^2=2(p^2+q^2)$ da cui $2pq=P^2+q^2$ che unita a GM-QM implica che $p=q$ quindi le soluzioni sono tutte quelle della forma $(p,p,2)$

Una soluzione più breve:
l'equazione è omogenea, quindi ci possiamo ricondurre a $(p,q)=1$.
$q^N\equiv 0 \pmod{p}$ da cui $p=q=1$, $N=2$. Per omogeneità, $(p,p,2)$ sono tutte e sole le soluzioni.