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Prendiamo due circonference $\omega_1$ e $\omega_2$ secanti in A e B. Costruire il segmento EF passante per A con E in $\omega_1$ e F in $\omega_2$ tale che $EA\cdot AF$ è massimo.

Fissate le due circonferenze, sono fissati gli angoli AEB, AFB e di conseguenza anche EBF, inoltre è fissata la lunghezza AB. Per il teorema dei seni si ha che $ AE=2R_1 \cdot sinEBA $. Similmente $ AF=2R_2 \cdot sinABF $. Da ciò segue che $ AE \cdot AF = 4R_1R_2 \cdot sinEBA \cdot sinABF $ e quindi $ AE \cdot AF $ è massimo quando è massimo il prodotto $ sinEBA \cdot sinABF $. Questo prodotto è massimo quando i due angoli sono uguali e quindi nel caso in cui AB è bisettrice dell'angolo EBF. Lo dimostro qui sotto.
Chiamo X l'angolo minore fra i due e Y l'angolo EBF. Voglio provare che $ sinX \cdot sin(Y-X) \leq sin^2(\frac{Y}{2}) = \frac{1-cosY}{2} $ dove l'ultima uguaglianza segue per le formule di bisezione. Svolgo con la formula per la sottrazione del coseno ottenendo che la tesi equivale al fatto che $ sinY sinX cosX - cosYsin^2X \leq \frac{1-cosY}{2} $. Ora sfrutto il fatto che $ sinXcosX=\frac{sin2X}{2} $, faccio il minimo comun denominatore e porto tutto al LHS eccetto l'1. Così facendo ottengo $ sinYsin2X + cosY(1-2sin^2X) \leq 1 $, ma $ 1-2sin^2X = cos2X $ e quindi ho $ sinYsin2X+cosYcos2X \leq 1 $ ovvero $ sin(Y+2X) \leq 1 $ che è banalmente vera.

Spero di non aver toppato nulla.

Più semplicemente

Sia $O$ l'intersezione delle due tangenti e siano $E'$ , $F'$ le intersezioni della retta $OA$ (diverse da $A$) con le due circonferenze.

Chiamo $G$ l'immagine di $E$ rispetto l'omotetia di centro $O$ che manda $\omega_1$ in $\omega_2$.

Allora per Tolomeo su $AGF'F$

$$AF'\cdot FG= AF\cdot F'G+F'F\cdot AG$$

quindi sfruttando i rapporti di similitudine e il fatto che le diagonali sono uguali $$AF\cdot AE= AF'\cdot AE'-AG\cdot F'F$$

E se aggiungo che lavoro nel proiettivo non devo fare altro

Capito chi è EF non è difficile, ma il problema chiede costruire il segmento a partire dalla configurazione (con riga e compasso, s'intende ).

Come al solito: prendo due rette parallele passanti per i 2 centri, traccio la retta per due intersezioni sensate e la interseco con la retta dei centri per trovare $O$

Bon giocatevela ai dadi per chi deve continuare

Non ho un problema interessante sottomano, quindi se vuole gatto silvestro può andare tranquillamente col 25.

Va bene, ecco qua