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Trovare tutte le coppie di interi positivi x,y tali che $ x^{2}+y^{2}=81770 $

Fattibile? XD

E' banale, solo tutta tecnica e calcoli (anche con $n$ al posto di $81770$).

Wolfram Alpha a tutta manetta!!!

xXStephXx ha scritto:Wolfram Alpha a tutta manetta!!!

Macché...
Dovendo farlo a mano si scompone il numero in prodotto di fattori, si calcola la rappresentazione come somma di due quadrati di ciascuno di essi e poi si moltiplicano ad uno ad uno usando a ciascuno step le due forme dell'identità di Brahmagupta-Fibonacci. Oppure si usa la formula esplicita...

A 'sto punto metto come si risolve: dato che $81770=2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 37$ (tutti numeri primi della forma $4k+1$ e dunque somme di due quadrati), si vede che $10$ ha una sola rappresentazione, e la moltiplicazione per ciascuno dei tre fattori successivi (per la suddetta identità) raddoppia il numero di rappresentazioni, per un totale di otto (non ordinate). A questo punto c'è solo da calcolare che siano effettivamente distinte, e da computare esplicitamente i numeri in ballo, ma sono solo conti. Conoscendo la fattorizzazione di un numero qualsiasi si può risolvere la suddetta diofantea per quel numero.

Si questi esercizi, si risolvono più o meno tutti nella stessa maniera, è utile capire il metodo ad ogni modo

Forse è ovvio ma non mi è chiaro... perchè quelle dette da enigma sono tutte? E perchè un primo ha un'unica rappresentazione?

Non è affatto ovvio, ma segue facilmente dal fatto che esiste la fattorizzazione unica negli interi di Gauss

Nabir Albar ha scritto:Non è affatto ovvio, ma segue facilmente dal fatto che esiste la fattorizzazione unica negli interi di Gauss

Sì, e un corollario interessante da aggiungere (riguardo alla seconda domanda di dario2994) è che la non unicità della rappresentazione di un numero primo contraddirebbe la sua primalità: in particolare vedi qui.

Più che un corollario, è la dimostrazione dell'unicità...

EvaristeG ha scritto:Più che un corollario, è la dimostrazione dell'unicità...

In effetti
L'avevo detto con in mente un'altra dimostrazione

Visto che 'ste coppie non sono ancora saltate fuori, le trovo io, grazie al metodo spiegatomi con moolta pazienza da enigma...
Abbiamo che $81770=2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 37$ e scriviamo come somma di quadrati i vari primi:
$2=1^2+1^2$, $5=2^2+1^2$, $13=3^2+2^2$, $17=4^2+1^2$, $37=6^2+1^2$.
Ora con calma ci ricaviamo tutte le varie coppie...

1) $10=(1^2+1^2)(2^2+1^2)=1^2+3^2$ ed è l'unica rappresentazione di 10 come somma di quadrati.
2) $10\cdot 13=(1^2+3^2)(3^2+2^2)=3^2+11^2=9^2+7^2$
3) $10\cdot 13\cdot 17=(3^2+11^2)(4^2+1^2)=1^2+47^2=23^2+41^2$
$10\cdot 13\cdot 17=(9^2+7^2)(4^2+1^2)=43^2+19^2=29^2+37^2$
4) passaggio finale...
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(1^2+47^2)(6^2+1^2)=53^2+281^2=41^2+283^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(23^2+41^2)(6^2+1^2)=97^2+269^2=179^2+223^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(43^2+19^2)(6^2+1^2)=239^2+157^2=277^2+71^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(29^2+37^2)(6^2+1^2)=137^2+251^2=211^2+193^2$

Auff... che fatica...

Però mi ha fatto venire voglia di scrivere un programma per scompore un numero in somma di quadrati...

È abbastanza facile, per fare $x^2+y^2=c$ provi tutti i valori di x tra 0 e $\sqrt{\frac{c}{2}}$.
La diofantea è, in linea di principio, banale anche senza la teoria sulla norma dei campi quadratici

Devo dire che non ci sarei mai arrivato.. Mi è piaciuto il metodo usato da Drago96.