Tripla uguaglianza

[LukasEta]

Trovare tutte le coppie (x,y) di reali tali che :

$x^\frac{1}{15}-y^\frac{1}{15}=x^\frac{1}{3}-y^\frac{1}{3}=x^\frac{1}{5}-y^\frac{1}{5}$

É da un test ammissione al sant'anna

[exodd]

E' abbastanza facile in sè, quindi provate a farlo seriamente prima di guardare gli hint..
Ah, gli hint non sono espliciti.. Sono da.. Interpretare

Hint 1

Testo nascosto:

Le radici non ci piacciono.. Ma per fortuna siamo nei reali, e tutti gli esponenti sono dispari!

Hint 2

Testo nascosto:

Quando è che tutte quelle brutte uguaglianze si tolgono dai piedi facilmente??

Hint 3

Testo nascosto:

Aspè! Ma se non si tolgono dai piedi, almeno possiamo semplificare! Non fatevi spaventare dalle scomposizioni!

Hint 4

Testo nascosto:

Un falso quadrato è già orribile di suo.. Figuriamoci al quadrato!

[LukasEta]

Ahah l'hint 4 è favoloso xD

[spugna]

Posto la mia soluzione (editata dopo una banale svista) come hint per vedere se qualcuno lo risolve in un altro modo

Testo nascosto:

$x=a^{15} \wedge y=b^{15}$
$a-b=a^3-b^3=a^5-b^5$
$a-b=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$

1° caso: $a-b=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow x=y$

2° caso: $a \neq b$, quindi divido per $a-b$
$1=a^2+ab+b^2=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$
$a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4=(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)-a^2b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$1=a^2+ab+b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$a^2b^2+ab=0 \Rightarrow ab=0 \vee ab=-1$
Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo mentre, siccome segue $a^2+b^2=1$, l'altro è $\pm1$.
Se $ab=-1$ sostituisco nell'equazione $b=-\dfrac{1}{a}$
$a^2-1+\dfrac{1}{a^2}=1 \Rightarrow a^4-2a^2+1=0 \Rightarrow a=\pm1 \Rightarrow b=\mp1$

[sasha™]

Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo, mentre l'altro è un reale qualunque.

Occhio, prova a sostituire nell'uguaglianza iniziale.

[spugna]

Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo, mentre l'altro è un reale qualunque.

Occhio, prova a sostituire nell'uguaglianza iniziale.

Ops! In effetti era da un po' che non scrivevo blasfemie matematiche: avevo totalmente dimenticato il primo membro!
Correggo subito!!

[giapippa]

mi dispiace riesumarla però mi serviva la soluzione

con un paio di calcoli mi trovo a x^2 = y^2 quindi le coppie sono tutte quelle del tipo y=|x|
giusto?

[spugna]

mi dispiace riesumarla però mi serviva la soluzione

con un paio di calcoli mi trovo a x^2 = y^2 quindi le coppie sono tutte quelle del tipo y=|x|
giusto?

Come ci sei arrivato? Anche $(1,0)$ è una soluzione!

PS: le equazioni $x^2=y^2$ e $y=|x|$ non sono equivalenti: nella prima la $y$ può essere anche negativa, mentre la seconda può essere vera solo se $y\ge 0$!!

[giapippa]

in realtà era incompleta, arrivo a $ y^2=x^2 $ e $ y^2(x+y)=0 $....cmq quali sono le soluzioni?

[spugna]

in realtà era incompleta, arrivo a $ y^2=x^2 $ e $ y^2(x+y)=0 $....cmq quali sono le soluzioni?

Posto la mia soluzione (editata dopo una banale svista) come hint per vedere se qualcuno lo risolve in un altro modo

Testo nascosto:

$x=a^{15} \wedge y=b^{15}$
$a-b=a^3-b^3=a^5-b^5$
$a-b=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$

1° caso: $a-b=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow x=y$

2° caso: $a \neq b$, quindi divido per $a-b$
$1=a^2+ab+b^2=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$
$a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4=(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)-a^2b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$1=a^2+ab+b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$a^2b^2+ab=0 \Rightarrow ab=0 \vee ab=-1$
Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo mentre, siccome segue $a^2+b^2=1$, l'altro è $\pm1$.
Se $ab=-1$ sostituisco nell'equazione $b=-\dfrac{1}{a}$
$a^2-1+\dfrac{1}{a^2}=1 \Rightarrow a^4-2a^2+1=0 \Rightarrow a=\pm1 \Rightarrow b=\mp1$

[giapippa]

non mi è chiaro il 2 rigo del 2 caso :S

[spugna]

non mi è chiaro il 2 rigo del 2 caso :S

La prima uguaglianza è una scomposizione, mentre la seconda è una conseguenza del fatto che $a^2+ab+b^2=1$ (vedi prima riga)

[giapippa]

ah perfetto ora mi è chiaro...