OliForum Matematico

Sia $k_n =p_1\cdot p_2 \dots \cdot p_n$ il prodotto dei primi $n$ numeri primi con $n \geq 2$. Dimostrare che $k_n-1$ e $k_n+1$ non sono quadrati perfetti.
Se qualcuno conosce qualche altra amenità circa $k_n$ è invitato a postarla

EDITATO

Mist ha scritto:Sia $k_n =p_1\cdot p_2 \dots \cdot p_n$ il prodotto dei primi $n$ numeri primi con $n \geq 2$. Dimostrare che $p-1$ e $p+1$ non sono quadrati perfetti.

Mi sa che hai sbagliato a scrivere qualcosa...
Oppure sono scemo io... E allora mi potresti spiegare cosa intendevi?

Che coglione che sono, è che nel testo anzichè esserci $k_n$ c'è $p$

$ k_n+1=h^2 $ per assurdo.
$ k_n=(h+1)(h-1) $.
La differenza tra i due fattori deve essere $ 2 $.
Allora dimostro che non posso dividere i numeri primi in due insiemi i cui prodotti abbiano 2 di differenza.
Il numero 2 è primo è può stare solo in un insieme. Moltiplicando gli elementi dell'insieme che contiene il 2 si ottiene un numero pari. Nell'altro insieme i numeri sono tutti dispari e moltiplicandoli ottengo un numero dispari. La differenza tra un pari e un dispari è dispari pertanto non può essere uguale a 2.
(con un po' di fortuna una parte dovrebbe essere dimostrata)...


Boh.. la seconda parte non mi viene.. ci devo pensare xD

[EDIT]

forse ho risolto...
Allora allora...

$ k_n=h^2+1 $
$ k_n $ è multiplo di 2, pertanto h è dispari, quindi o è del tipo 4a+1 o è del tipo 4a+3.
Se h è del tipo 4a+1 abbiamo:
$ k_n=16a^2+8a+2 $ ovvero:
$ k_n=2(8a^2+4a+1) $
k_n è divisibile per 3, vediamo se lo è anche il secondo membro.
se a è congrua a 0 mod 3, non va bene. Se a è congrua a 1 mod 3 non va bene e se a è congrua a 2 mod 3 non va bene...
Bene..
Allora prova h =4a+3.
$ k_n=16a^2+24a+10 $ ovvero:
$ k_n=2(8a^2+12a+5) $
Stessa cosa di prima..
Se a è congrua a 0 mod 3 non va bene, se a è congrua a 1 mod 3 non va bene e se a è congrua a 2 mod 3 non va bene...

Quindi non è ottenibile...

Boh, va bene... Si faceva anche così:

Per curiosità, da dove è tratto questo problema?

Dall'engel