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Trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione

$$x^3 +3= 4y(y+1)$$

Era già così all'inizio, o è già ad un passaggio intermedio?

Hint

era già così all'inizio, non è molto difficile in effetti...

Hint

Riscrivo l'equazione come $x^3=4y^2+4y-3$ scompongo RHS tramite ruffini e ottengo che $4y^2+4y-3=(4y+6)(y-\frac{1}{2})=(2y-1)(2y+3)$. Perciò avremo che $x^3=(2y-1)(2y+3)$; per x=0 on ci sono soluzioni quindi abbiamo 2 casi: 1)$2y-1=x$ , $2y+3=x^2$ (la scelta di x e x^2 viene dal fatto che la prima espressione e minore della seconda) che non ha soluzioni intere; 2) $2y-1=a^3$ , $2y+3=b^3$ dove a,b sono interi che, però non ha soluzioni poichè la differenza di due cubi non è mai 4 (se volete la dimostrazione di questo basta chiedere).

E se $ 2y+3=ab^2 $ e $ 2y-1=ba^2 $?

matty96 ha scritto: 1)$2y-1=x$ , $2y+3=x^2$ (la scelta di x e x^2 viene dal fatto che la prima espressione e minore della seconda) che non ha soluzioni intere; 2) $2y-1=a^3$ , $2y+3=b^3$ dove a,b sono interi che, però non ha soluzioni poichè la differenza di due cubi non è mai 4 (se volete la dimostrazione di questo basta chiedere).

Non puoi dedurre dal fatto che $x^3=(2y-1)(2y+3)$ che $x=2y-1$ e $x^2=2y+3$ per il semplice fatto che se no tu così poni implicitamente che $x=(x,x^2)=(2y-1,2y+3) = (2y-1,4) =1$ che non è molto lecito...

EDIT: chiedo scusa a stephenXxX, non avevo visto la sua risposta, che è sostanzialmente uguale alla mia

Me lo aspettavo...vediamo se posso rimediare (l'ho fatta in quel modo perchè ne avevo visto una simile risolta cosi')

Comincio da quando ho scomposto quel polinomio con ruffini: a questo punto pongo $z=2y+3$ da cui ricavo $x^3=z(z-4)$ . Dato che $z \mid x^3$ pongo $x^3={x_1}^3z^3$ cosi ottengo $z^2{x_1}^3=z-4$ (x_1 intero).
Poichè si $z^2\mid {z-4}$ si deve avere $z^2 \leq z-4$ che è impossibile poichè $z^2 > z-4$

mhm... no, ancora non va, il fatto che $z\mid x^3$ non implica che $x^3 = z^3x_1^3$, è abbastanza evidente se provi a fare un caso banale, tipo $(2\cdot 3)^3$... Infatti $z= 2^3\mid 2^33^3$ ma $ x^3 = 2^33^3 \neq z^3x_1^3 = 2^6x_1^3$

Hint

exodd ha scritto:Hint

Testo nascosto:

Due numeri dispari la cui differenza è 4... chissà che fattori potranno mai condividere..

$MCD(2y-1,2y+3)=1$
Difatti se uno è divisibile per un primo p (non 2, ovviamente), allora l'altro è congruo a 4 o -4 modulo p, e ovviamente un pari non può essere congruo a 0 modulo un dispari.
Il che significa $2y-1=a^3$ e $2y+3=b^3$ e dunque $x=ab$.
Si ha dunque $a^3-b^3=4\rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)((a-b)^2+3ab)=4$
I divisori di 4 sono $\{-4,-2,-1,1,2,4\}$ .
Provando i vari sistemi si vede che non ci sono soluzioni intere.

Dovrebbe andare...

ah.....che stupido a non pensare ai fattori comuni(sarà il fatto che mi sto dedicando ad altro)....comunque non capisco una cosa mist: quando io ho detto che $z\mid x^3$ intendevo che allora $z \mid x$ che è vero (penso di si: $x^3 \equiv0 \pmod z \rightarrow x \equiv 0 \pmod z$) quindi ho posto $x=zx_1$ e da qua tutto il resto. Dove sbaglio?

matty96 ha scritto:ah.....che stupido a non pensare ai fattori comuni(sarà il fatto che mi sto dedicando ad altro)....comunque non capisco una cosa mist: quando io ho detto che $z\mid x^3$ intendevo che allora $z \mid x$ che è vero (penso di si: $x^3 \equiv0 \pmod z \rightarrow x \equiv 0 \pmod z$) quindi ho posto $x=zx_1$ e da qua tutto il resto. Dove sbaglio?

4 divide 6^3
4 non divide 6

E' vero io avevo considerato il caso inverso.....mizzica che errore schifoso, in genere non lo faccio....sono davvero fuori di testa, scusate

$ x^{3}-y^{3}=4 $ non è mai verificata, senza fare sistemi basta guardarla in modulo 7 se vogliamo essere precisi