polinomio a coefficienti interi SNS 2011

[LorenzoB]

Ora non ricordo il testo di questo problema lettera per lettera, però me lo ricordo sufficientemente bene per poterlo formulare: dato un polinomio f(x) a coefficienti interi e dati tre interi a, b, c, distinti tra loro si ha che: f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a;
Dimostrare che non possono esistere questi tre interi.

[Karl Zsigmondy]

Utilizzo il fatto che se p è un polinomio a coefficienti interi allora $ (x-y) \mid [p(x)-p(y)] $. Da cui ho che:
$ (a-b) \mid (b-c) $
$ (b-c) \mid (c-a) $
$ (c-a) \mid (a-b) $
Quindi ho che:
$ |a-b|=|b-c|=|c-a| $
Dai primi due a-b=c-b, da cui a=c, oppure a-b=b-c da cui a=2b-c, ma in questo caso |c-a|=|2c-2b|=2|c-b|. Ma questo è uguale a $ |b-c|= \pm |c-b| $ e uguagliando i due termini in questione si ottiene sempre un assurdo.

[<enigma>]

Altrimenti noto come "polinomio a coefficienti interi USAMO 1974"

[LorenzoB]

Utilizzo il fatto che se p è un polinomio a coefficienti interi allora $ (x-y) \mid [p(x)-p(y)] $. Da cui ho che:
$ (a-b) \mid (b-c) $
$ (b-c) \mid (c-a) $
$ (c-a) \mid (a-b) $

Adesso mi picchio da solo: durante alla prova ero arrivato anch'io a questo punto e poi mi sono bloccato e ho dato un'altra risposta molto più stupida ( e sbagliata creado ...):

se a, b, c sono distinti possiamo dire WLOG a < b < c

quindi f(a)<f(b) per a < b da cui deriva che f(x) è crescente. Se f(x) è crescente si ha che f(b) dovrebbe essere < f(c) il che è assurdo per l'ipotesi a<c.

[exodd]

quindi f(a)<f(b) per a < b da cui deriva che f(x) è crescente. Se f(x) è crescente si ha che f(b) dovrebbe essere < f(c) il che è assurdo per l'ipotesi a<c.

Ehm.. Puoi dire che f(x) è crescente, solo se a e b fossero qualsiasi coppia di numeri tale che a<b.. Ma qui tu hai solo una certa coppia di numeri..

[julio14]

se a, b, c sono distinti possiamo dire WLOG a < b < c

Qua non va bene: ci sono già delle relazioni non simmetriche su a,b e c: f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a. Dovresti fare i due casi a<b<c e a<c<b: questi due, a meno di riordinamento, esauriscono tutta la casistica (assumiamo wlog che a sia il più piccolo, a questo punto b=f(a) può essere il secondo o il terzo, e c sarà di conseguenza).