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Sia $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n}=7 a_{n-1}-a_{n-2}$. Dimostrare che $a_n + a_{n+1} + 2$ è sempre un quadrato.

Per ora ho fatto i conti...
Poi penso di provare a fare un'induzione, ma non ne sono troppo convinto...

Alla fine dei contacci...
$\displaystyle{a_n+a_{n+1}=\frac{(7+\sqrt{45})^n+(7-\sqrt{45})^n}{2^n}}$

Ora lavoriamo su questo: $(x+y)^n+(x-y)^n$
sviluppando il binomio si ha $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot(y^k+(-y)^k)}$ (1)
da cui si vede subito che con k dispari si annulla il termine.
Quindi ponendo $h=n/2$ se n è pari e $h=\frac{n-1}{2}$ altrimenti si ha che (1) è $\displaystyle{2\cdot\sum_{k=0}^{2h}\binom{2h}{2k}\cdot x^{2h-2k}\cdot y^{2k}}$ e andando a sostituire i valori veri $\displaystyle{2\cdot\left(\sum_{k=0}^{2h}\binom{2h}{2k}\cdot 49^{h-k}\cdot 45^k\right)}$

53thebest ha scritto:Sia $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n}=7 a_{n-1}-a_{n-2}$. Dimostrare che $a_n + a_{n+1} + 2$ è sempre un quadrato.

Soluzione. \[ a_n+a_{n+1}+2=\left ( \left ( \frac {3+\sqrt{5}} 2\right )^{n-1} +\left ( \frac 2 {3+\sqrt{5}} \right )^{n-1} \right ) ^2 .\] D'altra parte, l'espressione in parentesi si verifica facilmente essere un intero.

per questo però potevi usare il tuo nick normale

concordo col risultato di enigma. Però io non concluderei dicendo che è facile verificare che quella roba è un intero, perchè non mi sembra proprio banale verificarlo.... direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n$, e quindi poichè $x_1=2$ e $x_2=3$ tutti gli elementi della successione saranno interi (positivi).
Se si ha dimestichezza con le successioni e le formule chiuse il problema non è affatto difficile, quindi provateci a completare la parte mancante!
Hint (da usare solo come ultimissima spiaggia ):

patatone ha scritto:direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n$, e quindi poichè $x_1=2$ e $x_2=3$ tutti gli elementi della successione saranno interi (positivi).
Se si ha dimestichezza con le successioni e le formule chiuse il problema non è affatto difficile, quindi provateci a completare la parte mancante!
Hint (da usare solo come ultimissima spiaggia ):

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{7+3\sqrt 5}2=(\frac{3+\sqrt 5}{2})^2$

E se invece non si ha dimestichezza? Dove posso imparare qualcosa?

stergiosss ha scritto:

patatone ha scritto:direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n$, e quindi poichè $x_1=2$ e $x_2=3$ tutti gli elementi della successione saranno interi (positivi).
Se si ha dimestichezza con le successioni e le formule chiuse il problema non è affatto difficile, quindi provateci a completare la parte mancante!
Hint (da usare solo come ultimissima spiaggia ):

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{7+3\sqrt 5}2=(\frac{3+\sqrt 5}{2})^2$

E se invece non si ha dimestichezza? Dove posso imparare qualcosa?

Nessuno?

Prova qua
Alla fine della parte di algebra, prima degli esercizi...

Drago96 ha scritto:Prova qua
Alla fine della parte di algebra, prima degli esercizi...

Grazie mille