Un classico dal 1988

[Mist]

Dimostrare che, dati $(a,b,q)\in \mathbb{N}^3$
$$\frac{a^2+b^2}{ab-1}=q \in \mathbb {N} \implies q=5$$

[balossino]

e (a,b,q)=(0;k;-k^2) ?

[Mist]

Giusto, scusami, ho sbagliato... i numeri sono in $\mathbb{N}$

[paga92aren]

HINT:

Testo nascosto:

Caduta infinita!!!

[LeZ]

Testo nascosto:

Riscrivo l'equazione come: $ a^2+b^2=5ab-5 $.
Guardala $ modulo 4 $; I residui quadratici modulo 4, supponendo $ a >1 e b>1 $, sono $ 0,1 $. La loro somma può dunque dare solo $ 0,1,2 \mod 4 $. Ora suddividi i casi per a e b pari, dispari e uno pari e uno dispari.
Infine guarda i casi per $ a<2 $

[Mist]

Non ho capito LeZ, il tuo voleva essere un hint ?

[LeZ]

Direi di si

[xXStephXx]

Credevo fosse la dimostrazione

[Mist]

Eh, anche io, soprattutto perchè la strada non è quella, secondo me

[LeZ]

Ho provato a fare in fretta il problema a causa del poco tempo, mi sembrava un ottimo strada, anche perchè si escludono velocemente alcuni casi, in un altro applichi la discesa infinita e poi analizzi i casi minori di 2 trovando come soluzione 2,1.

[paga92aren]

L'hint di LeZ mi sembra inutile...modulo 4 puoi arrivare a dire che $q\equiv 1 (4)$, ma non ti serve a niente per la discesa infinita....
Puoi fare direttamente la discesa, che non ti dice che l'unica soluzione è (1,2) ma qualcos'altro...
Adesso abbiamo parlato abbastanza, qualcuno posti una soluzione!

[Hawk]

Ho provato ad usare la discesa infinita, ma mi è venuto qualcosa di strano. L'unica soluzione è data (a,b)=(1,2)
L'equazione iniziale è questa:
$ a^2+b^2=5(ab-1) $
Questo significa che $ a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{5} $ e questo e possibile se e solo se $ a^2 $ e $ b^2 $ sono divisibili per 5.
Riscrivo l'equazione come:
$ (5a_1)^2+(5b_1)^2=5(ab-1) $ da cui si arriva a
$ 5(a_1^2+b_1^2)=ab-1 $
ma se $ 5|a^2 $ e $ 5|b^2 $ $ => $ $ 5|(ab)^2 $ $ =>5|ab $, ma questo è assurdo.

[sasha™]

Non è vero che devono essere entrambi multipli di 5, Infatti $1+4=5$.

[Mist]

Sì, e poi prima di contare quante soluzioni ci siano con $q=5$ sarebbe meglio dimostrare che $q$ può essere solo $5$

[Hawk]

Il problema va molto al di sopra delle mie capacità in teoria dei numeri, purtroppo sono solo agli inizi.