Disuguaglianza sull'esagono

[Mist]

Giusto per ravvivare/risuscitare un po' questa sezione, in cui l'ultimo problema nuovo è stato postato quasi un mese fa

Un esagono convesso $ABCDEF$ verifica la condizione $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$. Dimostrate che

$$\displaystyle \frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC} \geq \frac{2}{3}$$

[Karl Zsigmondy]

Torno dopo un po' sul forum con una soluzione che penso sia completamente cannata dal momento che la disuguaglianza mi viene larghissima.
Sia AB=BC=h, CD=DE=k, EF=FA=j.
Per la disuguaglianza triangolare ho che:
$ BE \leq BD+DE \leq BC+CD+DE $ da cui $ BE \leq h+2k $ e cicliche.
Quindi dimostro una cosa più forte della tesi, ovvero che:
$ \frac{h}{h+2k} + \frac{k}{k+2j} + \frac{j}{j+2h} \geq \frac{2}{3} $.
Ora applico Cauchy-Schwarz alle terne:
$ (\sqrt{\frac{h}{h+2k}}, \sqrt{\frac{k}{k+2j}}, \sqrt{\frac{j}{j+2h}}) $ ; $ (\sqrt{h(h+2k)}, \sqrt{k(k+2j)}, \sqrt{j(j+2h)} $ e ottengo:
$ (\frac{h}{h+2k} + \frac{k}{k+2j} + \frac{j}{j+2h}) \cdot (h+k+j)^2 \geq (h+k+j)^2 $ da cui il LHS è maggiore o uguale a 1 e quindi a 2/3.
Fine.