OliForum Matematico

Questo esercizio è dedicato a tutti quelli che come me sono tornati un po' bambini con l'album di figurine degli animali che la Coop dà quando fai la spesa.
L'album è composto da 180 figurine e in ogni pacchetto ci sono 5 figurine, e, IMPORTANTE, non è possibile trovare figurine uguali all'interno dello stesso pacchetto. Ora cominciamo un po' a divertirsi. Chiamo $ n $ il numero di pacchetti che ho aperto. Siano poi gli eventi:
$ A:= $ Completo il mio album.
$ B:= $ Ho le figurine contrassegnate con i numeri dall'1 al 50 tutte doppioni.
$ C:= $ Ho almeno 6 figurine diverse decuploni (ne ho 10 dello stesso tipo).
$ D:= $ Riesco a fare ben 2 album con almeno 170 figurine diverse (non obbligatoriamente le stesse, va bene qualsisasi sottinsieme di 170 elementi distinti rispetto alle 180 figurine ).
$ E:= $ Riuscire ad avere 175 figurine diverse senza avere mai più di 3 figurine dello stesso animale .

Sia $ X_{evento} $ il numero minimo di figurine necessario perchè l'evento si verifichi. Si supponga che si abbia $ n \geq X_{evento} $.

Si determini la probabilità, in funzione di $ n $ che si verifichi ciascun evento indicato.

Penso di aver risolto l'evento A, anche se rimango dubbioso. Chiedo conferma.

Innanzitutto per i casi totali ho immaginato di avere 179 stanghette in modo da creare 180 spazi che rappresentano le figurine diverse (ovvero gli spazi su cui le si incolla sull'album)
Assieme a questi permuto le 5n figurine, risulta così che i casi totali sono

(5n + 179 su 179)

Per quanto riguarda i casi favorevoli, ho fatto lo stesso tipo di ragionamento: i casi favorevoli infatti presentano sempre 180 figurine diverse (almeno una per ogni spazio); nulla mi impedisce di toglierle, dunque, senza altre restrizioni so che che i casi favorevoli sono

(5n +179 - 180 su 179)

Non ho letto bene la soluzione, ma per i binomiali ti consiglio
che ti fa venire $\displaystyle\binom{n}{k}$ (il displaystyle è solo per farlo più grande xD )

Uhm, la solzione mi sembra dimensionalemnte possibile però non ti nehgo che non mi tornano alcune cose. Allora per prima cosa non ho capito perchè permuti le 179 stanghette e non le 180 figurine, poi quando fai la somma 5n+ 179, 5n sono figurine, 179 cosa sono? Anche il significato del binomiale mi è abbastanza oscuro (forse solo perchè non arrivo a capire il tuo ragionamento), cioè tu mi dici che i casi possibili sono tutte le possibilità di sciegliere 179 elementi in un insieme di 179+5n !?! Discorso analogo per i casi favorevoli. Se riesci a spiegarti meglio cercherò di sforzarmi di più a capire il ragionamento.

Dimenticate! Rifaccio!

Idea

Considero 5n figurine (O), non necessariamente distinte (per il problema) i 179 separatori (|). Tutte le configurazioni possibili di queste 5n figurine sono e sono solo le configurazioni possibili di delle 5n figurine + 179 separatori; se si ha per esempio che la situazione (applicato ad un album con 10 figurine):

O|OOO||O|||O||OO|O

rappresenta l'album in cui della figurina n°1 ho 1 copia, della n°2 ho 3 copie, della n°3 ho 0 copie, della n°4 ho una copia e così via. Le configurazioni possibili sono dunque le permutazioni di O e | in cui contano solo le posizioni relative, si dovranno dunque eliminare dalle soluzioni le permutazioni di O e |.

Nozione utile

Si consideri il problema in cui si debbano ordinare una serie di O e | in modo che non vi siano due I adiacenti.
Si vede allora (richiamando drago96 ) che

Dopo una I sono obbligato a mettere una O
Dopo una O posso scegliere se mettere una | o una O

Chiamiamo $ I_n $ il numero delle configurazioni che terminano con una I, e $ O_n $ il numero delle configurazioni che terminano con una O, e $ C_n $ il numero delle configurazioni totali, essendo $ C_n = I_n + O_n $

Si ha che
$ I_n = O_{n-1} $ (Le I possono solo seguire delle O)
$ O_n = C_{n-1} $ (Le O possono seguire sia I che O)

Dunque
$ O_n + I_n = C_{n-1} + C_{n-2} $

da cui, svolgendo i primi casi, si vede che$ C_n = F_{n+2} $

Atto

I casi totali della probabilità cercata sono, seguendo da quanto sopra descritto

$ \displaystyle\binom{5n + 179}{179} $ = $ \frac{(179 + 5n)!}{179! * 5n!} $

I casi favorevoli sono dati dalla nozione utile, essendo quelli in cui vi è almeno una O tra una I e l'altra, ovvero quelli in cui due I non sono adiacenti. Si devono però considerare solo i casi in cui il primo elemento è una O, per questo sarà sufficiente considerare (5n + 179 - 1) elementi invece che (5n + 179) tenendo il primo fisso.

Dunque i casi favorevoli sono dati da $ F_{5n+179+1} $

Dunque la probabilità è dato da $ \frac{(179! * 5n!)(F_{5n+179+1})}{(179 + 5n)!} $