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In quanti modi una potenza di 2 si può scrivere come somma di due quadrati perfetti?

Se si conta $x^2+0$ come modo uguale a $0+x^2$ allora c'è solo un modo per esprimere le potenze di 2...

Identità di Brahmagupta-Fibonacci $\displaystyle{(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2}$

Abbiamo che 2 si può esprimere solo come $1^2+1^2$ , dunque avremo sempre $c=d=1$ e quindi $2(a^2+b^2)=(a-b)^2+(a+b)^2=(a+b)^2+(b-a)^2$
Ma gli ultimi due membri sono sempre uguali, perciò c'è sempre un unico modo (a meno di quello che ho detto all'inizio)

L'equazione che andremo ad analizzare sarà dunque: $ x^2+y^2=2^z $
Ora distinguiamo il caso $ z $ dispari e $ z $ pari.
1. Se $ z $ è dispari allora l'equazione diventa $ x^2+y^2=2^{z-1}+2^{z-1} $, $ z-1 $ è certamente pari, quindi sostituisco $ 2k=z-1 $. Ne segue quindi che $ x^2+y^2=2^{2k}+2^{2k} $ che ovviamente sono quadrati.
2. Se $ z $ è pari, $ z=2k_1 $ e banalmente le uniche soluzioni sono date da $ x^2=2^{2k} $ , $ y^2=0 $ e viceversa.

Ricapitolando con $ z $dispari la terna corrisponde a $ (2^{{z-1}\over2};2^{{z-1}\over2},z) $, con $ z $ pari la terna corrisponde a$ (2^{z\over2},0,z) $

Drago96 ha scritto:Se si conta $x^2+0$ come modo uguale a $0+x^2$ allora c'è solo un modo per esprimere le potenze di 2...

Identità di Brahmagupta-Fibonacci $\displaystyle{(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2}$

Abbiamo che 2 si può esprimere solo come $1^2+1^2$ , dunque avremo sempre $c=d=1$ e quindi $2(a^2+b^2)=(a-b)^2+(a+b)^2=(a+b)^2+(b-a)^2$
Ma gli ultimi due membri sono sempre uguali, perciò c'è sempre un unico modo (a meno di quello che ho detto all'inizio)

Non stai qui dando per scontato che i modi di esprimere un prodotto come somma di due quadrati sono tutti e soli quelli che derivano dall'identità di BF?

Non è scontato, ma è vero e credo che si possa dare per noto. Si trova in particolare a p.33 del libro "Diophantine Analysis" di Robert Carmichael proprio questo risultato. Comunque c'è una soluzione che non richiede la conoscenza di questo genere di proprietà.

Nella traccia era sottinteso a meno dell'ordine. Quindi il ragionamento di Drago va bene in tutto e per tutto. Lez invece mostra soltanto qual è l'unica coppia di soluzione (che è diversa nei casi di esponente pari o dispari).

pepperoma ha scritto:Non è scontato, ma è vero e credo che si possa dare per noto. Si trova in particolare a p.33 del libro "Diophantine Analysis" di Robert Carmichael proprio questo risultato. Comunque c'è una soluzione che non richiede la conoscenza di questo genere di proprietà.

Ok, però perlomeno in una dimostrazione "da gara" bisogna scrivere che è noto...

Questa è la soluzione più elementare.

Sia $ a_n $ il numero di modi di scrivere $ 2^n $ come somma di due quadrati. Ovviamente $ a_0=a_1=1. $ Ragionando modulo 4 su $ x^2+y^2=2^n $ per $ n>1 $, si ha che $ x, y $ sono pari e che, posto $ x=2X, y=2Y $,tutte le soluzioni della suddetta equazione sono date dalle soluzioni di $ X^2+Y^2=2^{n-2} $ e viceversa: pertanto $ a_n=a_{n-2} $. Di conseguenza vi è un unico modo (a meno dell'ordine) di scrivere le potenze di 2 come somma di due quadrati.