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Quanto vale la somma dei coefficienti di $ x^{17}+x^{18} $ in $ (1+x^5+x^7)^{20} $

Premetto che non so risolverlo quindi mi piacerebbe capire come funziona la tipologia con un trinomio

Mmm... non capisco bene il testo, perchè $x^{18}$ non si può ottenere!

Infatti il coefficiente di $ x^{18} $ è 0 ,a quello di 17 no!

Ah, ok...

$x^{17}=x^5\cdot x^5\cdot x^7\cdot1\cdots$

Dunque secondo me bisogna contare in quanti modi si possono scegliere due elementi (gli $x^5$ ) su un insieme di 20 e moltiplicarlo per 18 (per la $x^7$ )
Ovvero $\displaystyle\binom{20} 2\cdot 18 = 3420$

Metodo molto straightforward:

Newton; $\displaystyle [1+(x^5+x^7)]^{20}= \sum_{j=0}^{20}\binom{20}{j}(x^5+x^7)^j1^{20-j}= \sum_{j=0}^{20}\binom{20}{j}\sum_{r=0}^{j}\binom{j}{r}x^{5j+2r}$. Ora, $18$ può essere espresso solo con $j<r$ (si verifica facilmente) e quindi siccome con $r>j$ si ha che $\displaystyle \binom{j}{r}=0$, il coefficente di $x^{18}$ è pari a $\displaystyle \binom{20}{j}\cdot \binom{j}{r} = 0$ mentre l'unica espressione ammissibile in funzione di $j $ e $r$ di $17$ è con $j=3$ e $r=1$ che porta quindi a concludere che il coefficente di $x^{17}$ è pari a $\displaystyle \binom{20}{3}\cdot \binom{3}{1}=3420$

Ci ho messo un po a capire tutto ma alla fine ce l'ho fatta

Grazie mille!

Mist ha scritto:Metodo molto straightforward:

Newton; $\displaystyle [1+(x^5+x^7)]^{20}= \sum_{j=0}^{20}\binom{20}{j}(x^5+x^7)^j1^{20-j}= \sum_{j=0}^{20}\binom{20}{j}\sum_{r=0}^{j}\binom{j}{r}x^{5j+2r}$. Ora, $18$ può essere espresso solo con $j<r$ (si verifica facilmente) e quindi siccome con $r>j$ si ha che $\displaystyle \binom{j}{r}=0$, il coefficente di $x^{18}$ è pari a $\displaystyle \binom{20}{j}\cdot \binom{j}{r} = 0$ mentre l'unica espressione ammissibile in funzione di $j $ e $r$ di $17$ è con $j=3$ e $r=1$ che porta quindi a concludere che il coefficente di $x^{17}$ è pari a $\displaystyle \binom{20}{3}\cdot \binom{3}{1}=3420$

Non ho capito da dove salti fuori r nel corso delle operazioni sulla sommatoria. Poi, sempre in

$\displaystyle [1+(x^5+x^7)]^{20}= \sum_{j=0}^{20}\binom{20}{j}(x^5+x^7)^j1^{20-j}= \sum_{j=0}^{20}\binom{20}{j}\sum_{r=0}^{j}\binom{j}{r}x^{5j+2r}$

Hai diviso la sommatoria in un prodotto tra due sommatorie o hai inserito una sommatoria all'interno di un'altra O.O? In ogni caso non ho capito la proprietà che permetta di fare ciò. Dove posso studiarla?

$r$ è un indice a caso...
Invece le due sommatorie sono una dentro l'altra, ovvero ha usato due volte il binomio di Newton...

$\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom n i\cdot a^i\cdot b^{n-i}}$

A proposito di r.. provando lo stesso metodo in altri polinomi inventati, non riesco a capire come lavorare con r. Devo usare secondo le congruenze? O come lo decido arbitrariamente?

Vediamo se riusciamo a generalizzare il problema di partenza, così ti mostro nel dettaglio come funzionano questi marchingegni...

Prendiamo $(\alpha , \beta , \gamma ) \in \mathbb{N}$ con $\alpha > \beta$ e consideriamo il coefficente di $x^h$ con $h \in \mathbb{N}$... Quanto varrà questo coefficente ? come ho fatto sopra, uso lo sviluppo del binomio di newton, e in primo luogo scrivo

$$(1+x^\alpha +x^\beta )^{\gamma} = [1+(x^{\alpha}+x^{\beta})]^{\gamma}= \sum_{j=1}^{\gamma}\binom{\gamma }{j}(x^{\alpha}+x^{\beta})^{j} = \sum_{j=1}^{\gamma}\binom{\gamma}{j}\sum_{r=1}^{j}\binom{j}{r}x^{r\alpha}x^{(j-r)\beta}=\sum_{j=1}^{\gamma}\binom{\gamma}{j}\sum_{r=1}^{j}\binom{j}{r}x^{j+r(\alpha -\beta )}$$

Ricordati che $\alpha -\beta$ è un numero, non un parametro della sommatoria. Quindi ora hai una equazione in due variabili ($j$ ed $r$, con $r\leq j$) di primo grado che deve essere uguale ad $h$. In altre paroled devi trovare $j$ e $r$ interi con $r\leq j$ tali che $j+r(\alpha -\beta )=h$... E qui niente. Non credo che esista un metodo generale e magico che ti faccia saltare fuori tutte le soluzioni buone di quella roba, ma comunque basta che in primo luogo trovi tutti i $j$ tali che $\alpha -\beta \mid h-j$ per ovvi motivi.Poi, trovati gli $j$ per cui questo accade, devi escludere quelli che ti danno $\displaystyle r= \frac{h-j}{\alpha -\beta}>j$ perchè questi non vanno bene per ovvi motivi.

Spero di essere stato chiaro Casomai chiedi

LoL appena rileggevo mi sono reso conto della domanda idiota che ho fatto! Comunque ti ringrazio nuovamente, dato che hai anche esplicitato letteralmente il problema

Ho applicato tale procedimento logico in una serie di polinomi, tutto ok, tranne che qua.
$ {(1+x^4+x^3)}^{10} $, volevo trovare il coefficiente di $ x^{16} $.$ \displaystyle $ $ (1+x^4 +x^3)^{10} = [1+(x^{4}+x^{3})]^{10}= \sum_{j=0}^{10}\binom{10 }{j}(x^{4}+x^{3})^{j} = \sum_{j=0}^{10}\binom{10}{j}\sum_{r=0}^{j}\binom{j}{r}x^{4r}x^{3(j-r)}=\sum_{j=0}^{10}\binom{10}{j}\sum_{r=0}^{j}\binom{j}{r}x^{3j+r(4 -3 )} $.
Ora $ 3j+r=16 $, ciò si verifica per $ j=5 $ e $ r=1 $, di conseguenza il coefficiente è dato da$ \binom{10}{5}\cdot \binom{5}{1} = 1260 $. Perchè è sbagliato?

perchè $3j+r=16$ ammette come soluzioni $(j,r)=(4,4),(5,1)$ e quindi il risultato è $\displaystyle \binom{10}{4}\cdot \binom{4}{4} + \binom{10}{5}\cdot \binom{5}{1} =1470$ che wolfram dice che è giusto

Perfetto, immagino che se al posto del termine noto (in questo caso $ 1 $) ci fosse stato un altro numero $ (k) $ basta che moltiplico il risultato ottenuto per $ k^{\gamma-j} $