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Dimostrare che

$ \displaystyle \sqrt { (b_1-a_1)^2 + ... + ( b_n-a_n)^2 } \leq \sqrt{ (a_1 - c_1 ) ^2 + ... + (a_n -c_n ) ^2 } + \sqrt{ (b_1 - c_1 ) ^2 + ... + (b_n -c_n ) ^2 } $

con $ a_1,b_1,c_1 , ... a_n ,b_n, c_n $ numeri reali.

Considero nel piano n-dimensionale i punti:
$ A = (a_1, \ldots, a_n) $
$ B = (b_1, \ldots, b_n) $
$ C = (c_1, \ldots, c_n) $
Al LHS abbiamo la distanza AB, al RHS la somma delle distanze AC e BC. Ora considero il piano per A, B, C e applico la disuguaglianza triangolare da cui segue la tesi.

EDIT: La applico ai vettori A-B, B-C, C-A fissando l'origine dove voglio. Va bene ora?

Manca un passaggio.. la disuguaglianza triangolare per i vettori è $ ||A+B|| \leq ||A||+||B|| $