OliForum Matematico

1)Siano $x,y,z$ numeri reali positivi tali che $\displaystyle\frac{4}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=1$.
Determinare il minimo valore che può assumere l'espressione $x+8y+4z$.


2)Siano $x,y,z$ due reali positivi tali che $xy^2z^3=1$. Determinare il minimo valore che può assumere $x^2+y^3+z$.

essendo ancora un brocco completo con le disuguaglianze, ci provo...

$$\displaystyle x+8y+4z= \left( \frac{4}{x}+\frac{2}{y} +\frac{1}{z}\right) \cdot (x+8y+4z) = 4+32\frac{y}{x}+16\frac{z}{x}+2\frac{x}{y}+16+8\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+8\frac{y}{z}+4=$$
$$=24+32\frac{y}{x}+2\frac{x}{y}+16\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+8\frac{z}{y}+8\frac{y}{z}\geq 24+16+8+16 = 64$$

Dove la disuguaglianza è data da AM-GM

E credo che la seconda si faccia in modo simile, sempre che la prima sia giusta XD al massimo ci penso dopo...

Se devo essere sincero non ho capito il passaggio AM-GM, ma in ogni caso nell'ultima uguaglianza il primo termine non dovrebbe essere 24?

Risolvo l'1 usando Cauchy-Schwarz:
Applico Cauchy-Schwarz alle terne:
$ \left( \sqrt{\frac{4}{x}};\sqrt{\frac{2}{y}};\sqrt{\frac{1}{z}} \right) $ e $ \left( \sqrt{x};\sqrt{8y};\sqrt{4z} \right) $
Si ha: $ \left( {\frac{4}{x}}+{\frac{2}{y}}+{\frac{1}{z}} \right)\cdot \left({x}+{8y}+{4z} \right)\geq ( \sqrt{4}+ \sqrt{16}+ \sqrt{4})^2 $.
Quindi, dato che $ \left( {\frac{4}{x}}+{\frac{2}{y}}+{\frac{1}{z}} \right)=1 $ si ha che $ \left({x}+{8y}+{4z} \right)\geq 64 $

$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$32\frac{y}{x}+2\frac{x}{y} \geq 16$$

e hai ragione sul $24$ edito subito

Il secondo problema mi viene $\frac{25}{6}\sqrt[25]{2\cdot 3^{-14}}$ ho sbagliato?