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1)Trovare tutti i polinomi $p(x)$ tali che $p(2x)=2p(x)$
Trovare tutti i polinomi $p(x)$ tali che $p(2x)=p(x)$
Trovare tutti i polinomi $p(x)$ tali che $p(x^2)=2p(x)$
Trovare tutti i polinomi $p(x)$ tali che $p(x^2)=(p(x))^2$
Il secondo è.... Sia $q(x)=x^3+ax^2+bx+c$ un polinomio con 3 radici intere distinte.Dimostrare che non esistono $m,n$ ineri distinti tali che $p(m)=p(n)=3$

2-Dimostro $ f(2x)=f(x) $ solo per f(x)=costante.
$ f(0)=k $, allora $ g(x)=f(x)-k $.Quindi $ g(0)=0 $ e $ g(x)=g(2x) $. Poniamo n il grado del termine di grado minimo che ha coefficiente diverso da 0. Sia $ j(x)=g(x)/x^n $ Si noti che j(x) è un polinomio che ha termine noto diverso da 0.Dividendo entrambi i membri per $ (2x)^n $ ottenendo $ j(x)/2^n=j(2x) $, da cui $ j(0)=0 $. Ma ciò è impossibile perchè se il termine noto di j(x) è diverso da 0, j(0) deve essere diverso da 0. Quindi g(x) non può che essere uguale a 0 e f(x)=k.

1-Trovo tutti i polinomi p(x) tali che p(2x)=2p(x)
Pongo $ x=0; p(0)=2p(0); p(0)=0 $
Chiamo $ g(x)=f(x)/x $ (e possibile perchè $ p(0)=0 $)
Dividendo entrambi i membri per $ 2x $ ottengo $ g(x)=g(2x) $.
Ciò vale se e solo se $ g(x) $ è una costante. Quindi g(x)=a. Di conseguenza $ f(x)=ax $, che è vero per ogni x.


P.S. E' la prima volta che uso il latex spero vada bene

Provo il secondo. Essendo il polinomio monico possiamo scriverlo in questa forma
$ p(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3) $
Inoltre sappiamo che
$ (m-\alpha_1)(m-\alpha_2)(m-\alpha_3)=(n-\alpha_1)(n-\alpha_2)(n-\alpha_3)=3 $
e che $ \alpha_1\ne \alpha_2\ne \alpha_3 $
Poichè $ m,n\in\mathbb{Z} $ e $ \alpha_1,_2,_3\in\mathbb{Z} $ anche $ x-\alpha_1,_2,_3\in\mathbb{Z} $.
Dunque i 3 fattori devono essere divisori di 3: $ \pm1, \pm3 $.
Il numero 3 può essere scritto come prodotto di 3 fattori interi distinti in un unico modo (senza considerare le sue permutazioni) : $ (-3)\cdot(-1)\cdot1 $
Supponiamo $ (m-\alpha_1)=-3 $ , dunque $ \alpha_1=m+3. $
Supponiamo pure $ (m-\alpha_2)=1 $ e ($ m-\alpha_3)=(-1) $, dunque $ \alpha_2=m-1 $ e $ \alpha_3=m+1 $.
$ (n-\alpha_1)\ne (-3) $ (altrimenti $ m=n $), dunque $ (n-\alpha_1)=\pm1 $. Se ($ n-\alpha_1)=1 $, $ n=\alpha_1+1=m+4 $ e $ (n-\alpha_2)=-1 \Rightarrow n=\alpha_2-1=m-2. $
Ma $ m-2\ne m+4 $, dunque per questo caso non esistomo m e n distinti tali da soddisfare le condizioni.
Analogo procedimento avviene nel secondo caso. Da qui la tesi.

Spero di non aver sbagliato

mattteo ha scritto: Sapendo che g(x)=g(2x) dividiamo entrambi i membri per 2x ottenendo $ j(x)=j(x)/2 $.

Forse non ho capito, ma non dovresti dedurre $ \displaystyle \frac{j(x)}{2} = j(2x) $?

Si ho sbagliato. Adesso l'ho modificato mi dici se va bene??