OliForum Matematico

Chiamo n-esimo numero speciale $s_n$ il numero razionale che si esprime nella forma

$$s_n = 1+\frac{n-1}{1+\frac{n-2}{1+\frac{n-3}{1+\frac{n-4}{\ddots}}}}$$

Dimostrare che $\sqrt{n} \leq x_n \leq \sqrt{n}+1$

Lo dimostro per induzione.
Passo base: n=2 (il caso n=1 mi sembra barare troppo)
Ottengo che $ \sqrt{2} \leq 2 \leq \sqrt{2}+1 $ che è vero.
Passo induttivo: $ n \rightarrow n+1 $
Ho che $ s_{n+1}=1 + \frac{n}{s_n} $. Quindi per ipotesi induttiva $ s_{n+1} \leq 1 + \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} + 1 $ ma è ovvio che $ \sqrt{n}+1 \leq \sqrt{n+1}+1 $. Similmente $ s_{n+1} \geq 1 + \frac{n}{\sqrt{n}+1} $. Ora ho che $ 1 + \frac{n}{\sqrt{n}+1} = \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}+1} $ e quindi mi basta dimostrare che $ \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}+1} \geq \sqrt{n+1} $. Ovvero $ \frac{1}{\sqrt{n}+1} \geq \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $. Moltiplicando ambo i mebri per $ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} $ la tesi equivale al fatto che $ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \geq 1 $ che equivale a $ \sqrt{n+1} \geq 1 $ che è vero.