OliForum Matematico

EDIT: a,b,c,d reali positivi. Gazie a ma_go e ngshya

$ \displaystyle\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \le \frac{1}{\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+d}} $

Mi servirebbe una dimostrazione bella. Io ne ho fatta una calcolosa(standard) fino ad arrivare QM con GM.

P.S
Sapete come ingrandire le formule????

EDIT: modificato il TeX: \displaystyle per ingrandire, \le per il minore o uguale. ma_go

[modalità pignolo on]
Che cosa sono a, b, c, d ?
[modalità pignolo off]

immagino a,b,c,d reali positivi... guarda se ti piace questa:
$\displaystyle RHS=\frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}=a+c-\frac{(a+c)^2}{a+b+c+d}$
$\displaystyle LHS=\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=a-\frac{a^2}{a+b}+c-\frac{c^2}{c+d}$
Semplificando e cambiando di segno rimane $\displaystyle \frac{a^2}{a+b}+\frac{c^2}{c+d}\ge \frac{(a+c)^2}{a+b+c+d}$,
ovvero $\displaystyle (\frac{a^2}{a+b}+\frac{c^2}{c+d})(a+b+c+d)\ge (a+c)^2$ che è vera per C.S.