OliForum Matematico

Aggirando i blocchi... eccomi qua.
 Diciamo che DEF è triangolo interno di ABC se ognuno dei vertici di DEF giace su un lato diverso di ABC
 
 1) assegnato un arbitrario triangolo ABC, trovare il suo triangolo interno col minore perimetro
 
 2) stessa storia, da trovare il t.interno con
 la SUPERFICIE minore
 
 3) assegnato un arbitrario triangolo ABC, tra tutti i suoi triangoli interni EQUILATERI trovare quello con la superficie minore.
 
 enjoy.

Mi pare che Jack abbia una vena sadica, che raggiunge il suo acme quando dà problemi davvero molto difficili, la cui eventuale soluzione è poi improponibile da postare <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">
 Con questo non voglio dire di avere risolto i presenti problemi.
 Mi limito a fare qualche considerazione.
 per 2) la risposta mi pare ovvia: non esiste un minimo.
 In 1) l\'eventuale minimo deve essere un triangolo che forma con tutti e tre i lati angoli di incidenza uguali. Chi sa dire perchè?

soluzioncina al problema di lordgauss:
 
 considero una retta r e due punti p e q esterni ad essa. La spezzata minima che li unisce è quella i cui angoli di incidenza sono uguali.
 
 dimostrazione: basta considerare il punto q primo simmetrico rispetto alla retta r del punto q. E\' evidente che qualunque punto k preso sulla retta r è equidistante da q e q primo, e che la linea minima che unisce p e q primo è una retta passante per la retta r nel punto h,
 che essendo equidistante da q e q primo è la soluzione minima.
 
 ritornando al problemino qui si ha la stessa cosa.

perchè non si puo determinare l\'area minima?
 
 continuando la dimostrazione si considera una retta fra AB BC AC per volta, considerando di volta in volta come p e q i punti non sulla retta considerata (cioe se considero la retta AB p e q saranno sulla retta BC e AC).
 ottengo quindi che tutti gli angoli di riflessione ed incidenza sono uguali, al fine di avere la spezzata minima.

Esiste un minimo per il perimetro, ma non per l\'area. Se DEF è il triangolo interno, e D sta su AB, mentre E sta su AC, \"sposta\" il segmento DE verso A. Per AD-->0 l\'area di ABC -->0.

Il mio non è sadismo, bensì maieutica : lo
 scopo era quello di farvi appassionare al
 problema di Fagnano (quello del t. ortico) !
 
 Scherzi a parte, la dimostrazione poteva
 essere impostata come segue
 1) prendere come dogma che il triangolo
 ortico sia soluzione del problema
 2) dimostrare che il triangolo ortico gode
 della \"mirror property\"
 3) dimostrare il dogma tramite vari
 ribaltamenti di ABC
 
 Quello che è veramente interessante
 (a mio giudizio) è il problema 3, visto
 che implica prima la COSTRUZIONE di
 un triangolo equilatero inscritto
 (e vai con le rotazioni di 60°), poi vari
 ragionamenti circa numerosi
 \"triangle centers\"... suggerimento : c\'entra
 persino la retta di Eulero.
 
 Seeya !
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">

per pura speculazione senza uno straccio di prova se abc è equilatero il massimo triangolo equilatero \"inscritto\" è 1/4 abc ?

...perche\' non abc stesso?

Se il triangolo ABC di partenza è equilatero, vale ciò che dici, Azarus.
 Prova a dimostrarlo, non è difficile!

...allora non ho capito cosa intendi, Azarus, con \'triangolo inscritto\'... o forse con \'triangolo massimo\'...
 grazie per le future spiegazioni

State parlando di due cose diverse...
 Azarus si è sbagliato, mi pare, e ha scritto massimo al posto di minimo, che era poi quello che chiedeva il problema ed è effettivamente 1/4 abc.
 è ovvio che il max triangolo equilatero inscritto in un triangolo equilatero abc è abc stesso, oppure non esiste (dipende cosa si intende per \"giace su un lato diverso\", io propenderei per il non esiste)

in effetti mi sono sbagliato cmq un idea sulla dimostrazione potrebbe venire sfruttando le diseguaglianze triangolari... fooooorse...

Visto che ora è possibile allegare immagini (W il Cabri) faccio risalire questo topic, valutando se sia utile una trattazione approfondita del problema.

OliForum Matematico

Problemi geometrici di massimizzazione