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Trovare tutte quaterne di interi positivi $ (x,y,z,t) $ tali che: $ 1+5^x=2^y+2^z\cdot 5^t $

Modulo 5 l'equazione diventa $ 2^y=1 $, che implica $ 4|y $ (quindi anche $ y>3) $. Modulo 4 invece resta $ 2=2^y+2^z $ ed essendo $ y>3 $ ciò vuol dire $ 2^z=2 (mod 4) $: quindi $ z=1. $ Ora se pure $ x=1 $, è banale vedere che l'equazione non è mai verificata.Se $ t=1, $ la diofantea si riduce a $ 5^x=2^y+9 $, che ammette come unica soluzione$ x=2, y=4 $: infatti modulo 8 si prova la parità di $ x $ e si può scrivere $ x=2m, y=4n $, da cui $ (5^m)^2-(2^2n)^2=9. $ E' noto (nonchè elementare) che gli unici due quadrati di differenza 9 sono 25 e 16, che portano alle soluzioni suddette. Ora si supponga $ x,t>1 $. In tal caso, ragionando modulo 25, si trova che $ 20|y $. A questo punto, ponendo $ y=20a $ e tenendo presente che $ 2^{20}=1 (mod 11) $, si ottiene $ 1+5^x=(2^{20})^a+2 \cdot 5^t $ e perciò $ 5^x=2 \cdot 5^z (mod 11) $, che è impossibile. L'unica soluzione è (2;4;1;1).

(ora dovrebbe essere tutto a posto)

Non ho letto la dimostrazione ma una soluzione c'è

p.s. E poi mica sei jordan

Errore di calcolo, ora correggo.

e non dimenticare $(x,0,0,x)$

Diceva interi positivi, altrimenti l'avrei messo.

Benissimo