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Sia ABC un triangolo e D, E i piedi delle altezze uscenti da A,B rispettivamente. Sia P il punto d'intersezione tra AD e la semicirconferenza costruita su BC esternamente al triangolo, e analogamente Q il punto d'intersezione tra BE e la semicirconferenza costruita esternamente su AC. Dimostrare che il triangolo CPQ è isoscele.

$PC^2=CD\cdot BC= CE\cdot CA=QC^2$ (Euclide-ciclicità-Euclide)

consideriamo i triangolo $ ACD \ e \ CEB $ essi sono simili in quanto:
$ . \hat C \ in \ comune $
$ . \hat E = \hat D (in \ quanto \ retti \ x \ Hp) $

$ => \overline{CD} : \overline{CE} = \overline{AC} : \overline{CB} => \overline{CB} \cdot \overline{CD}=\overline{CE} \cdot \overline{AC} $
Essendo per Euclide $ \overline{CE} \cdot \overline{AC} = \overline{CQ ^2} $ e $ \overline{CB} \cdot \overline{CD} = \overline{CP ^2 } $
Otteniamo $ \overline{CP ^2 } = \overline{CQ ^2} => \overline{CP } = \overline{CQ} $

c.v.d.