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Dimostrare che $ \displaystyle ( 1+ \frac{1}{n} ) ^n \leq 3 - \frac{1}{n} $ $ \forall n \in \mathbb N $

Uso un metodo un po' strano e poco olimpico:
se $ n=<4 $ allora sostituendo è sempre vero.
Se $ n>4 $ allora $ {(1+1/n)}^n<e<11/4<3-1/n $, dove e è $ (1+1/n)^n con n=infinito $.
La prima disuguaglianza vale perchè $ (1+1/n)^n $ è crescente e quindi ha massimo a infinito, ovvero quando è e.( per la dimostrazione che è crescente c'e questo link: viewtopic.php?f=13&t=16377)
La seconda perchè $ e=2,71828(all'incirca) $, che è minore di $ 2,75 $.
La terza vale perchè$ 11/4<3-1/n;1/n<1/4;n>4 $.

cosi è troppo facile, il problema è chiaramente pensato per essere risolto senza ricorrere ad approssimazioni di $e$

può andare bene se dimostri che LHS tende a 2,71828 !
approfitto del post per assicurare che c'è (almeno) una soluzione elementare