Riservato ai più giovani che non hanno mai visto un risultato del genere !
Abbiamo un quadrato di lato unitario. Lo dividiamo in nove parti (tipo una griglia 3 x 3 ) e coloriamo quella centrale. le restanti 8 le dividiamo ognuna in 9 parti e coloriamo quella centrale. Ripetiamo il procediamento infinite volte. A quanto sarà uguale la parte dell'area colorata? e quella non colorata?
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 18 ott 2011, 16:15
da Drago96
Mi reputo "giovane" e questo tipo di problemi non li ho mai visti, però una minima esperienza la ho e quindi nascondo...
Testo nascosto:
Dopo $n$ volte che divido, mi ritrovo con quadrati di area$\displaystyle{\frac 1 9, \left(\frac 1 9\right)^2\dots\left(\frac 1 9\right)^n}$ e ne ho colorati rispettivamente 1, 8... $8^{n-1}$
Diciamo che l'area è data da $\displaystyle{\sum_{i=0}^n 8^{i}\cdot\left(\frac 1 9\right)^{i+1}}$ , ovvero $\displaystyle{\frac 1 9\cdot\sum_{i=0}^n \left(\frac 8 9\right)^i}$ e usando la formula per le serie geometriche si ha l'uguaglianza con $\displaystyle{\frac 1 9\cdot\frac{1-\left(\frac 8 9\right)^{n+1}}{1-\frac 8 9}= 1- \left(\frac 8 9\right)^{n+1}}$ .
Se definiamo $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\infty}x=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}x}$ abbiamo che la nostra area è data da $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1- \left(\frac 8 9\right)^{n+1}\right)=1}$
Mi par tutto giusto...
Tu l'hai fatto in un modo più elementare, dato che l'hai postato in Matematica ricreativa?
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 18 ott 2011, 17:00
da xXStephXx
Ok, mi viene lo stesso risultato con lo stesso metodo xD.. Però la formula la conoscevo.. si può fare anche senza?
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 18 ott 2011, 19:19
da Karl Zsigmondy
Non so quanto sia corretto, però affermo che in ogni quadratino (di lunghezza arbitraria) contenuto all'interno del quadrato c'è del colore. E' ovvio che in un numero finito di passaggi ottengo che il quadrato originale è "suddiviso" in quadratini con lato minore o uguale alla metà del lato del quadratino fissato inizialmente. Quindi c'è almeno un quadratino contenuto nel quadrato fissato all'inizio, e parte di questo quadratino al passaggio successivo sarà colorata. In teoria è come se avessi fatto il limite a parole, per una zona (quadratino) arbitrariamente piccola del quadrato iniziale c'è dentro del colore... quindi è come se fosse tutto colorato praticamente.
Ho molti dubbi sul fatto che quello che ho detto sia una dimostrazione, anche se è giusto.
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 19 ott 2011, 11:39
da ma_go
no, purtroppo (forse: per fortuna) quello che dici non è vero, Karl.
costruiamo il seguente esempio: numera le coppie di razionali, così che $(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})\cap([0,1]\times[0,1]) = \{(x_n, y_n)|n\in\mathbb{N}\}$.
adesso, fissa un numero piccolo, diciamo $\varepsilon = 1/37$.
intorno ad ogni punto $(x_n,y_n)$ prendi una pallina di raggio $\varepsilon^n$ (e intersecala con il quadrato $[0,1]^2$).
siccome in ogni quadratino c'è un punto con coordinate entrambe razionali, in ogni quadratino "c'è del colore". e, di più, non c'è solo del colore, ma c'è una macchietta colorata (per quanto piccola, è una macchietta vera, e non solo un puntino: in gergo, c'è un aperto colorato).
prova a fare il conto dell'area, però...
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 19 ott 2011, 12:48
da fph
xXStephXx ha scritto:Ok, mi viene lo stesso risultato con lo stesso metodo xD.. Però la formula la conoscevo.. si può fare anche senza?
Visto che il problema è in pratica sommare una serie geometrica, immagino che ogni dimostrazione si potrà ricondurre a una dimostrazione di quella formula.
Questo però è un modo che a prima vista sembra diverso.
Testo nascosto:
Chiama $A$ l'area della parte di piano colorata. Considera ognuno degli otto quadratini "di bordo"; in ognuno di essi l'area colorata è $\frac{1}{3^2}A$, visto che l'area scala col quadrato delle dimensioni. Quindi $A=8\cdot \frac{1}{3^2}A + \frac{1}{9}$, da cui...
(in realtà sto barando, perché questo dà per scontato che il limite esista, che a priori non è ovvio)\
(e in realtà anche questo si riconduce a una dimostrazione "barata" della solita formula per la somma di una serie geometrica)
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 19 ott 2011, 16:59
da Drago96
Beh, la dimostrazione della formula per le serie geometriche è una semplice induzione...
$\begin{cases}
a_0=a_0 \\
a_{n+1}=k\cdot a_n
\end{cases}$
Supponiamo che la somma dei primi n termini sia $\displaystyle{\frac{k^n-1}{k-1}\cdot a_0}$ .
Per n=0,1 funziona.
Vediamo cosa succede con $n+1$ termini; si ha che $a_n=k^{n}\cdot a_0$ .
Sommandolo alla formula dell'ipotesi induttiva si ottiene $\displaystyle{\frac{a_0(k^n-1)+a_0k^n(k-1)}{k-1}=\frac{a_0k^n-a_0+a_0k^{n+1}-a_0k^n}{k-1}=\frac{a_0(k^{n+1}-1)}{k-1}}$
Re: Colorare un quadrato in modo "speciale"
Inviato: 19 ott 2011, 20:03
da amatrix92
Scusate, effettivamente l'avevo messo qui per il fatto che il risultato fosse curioso, me anche se di poco c'è qualcosa di non elementare. Io avevo dato per scontata la elementarietà di questa formula ( perchè si trova anche in dispense non di analisi) : per $ 0<x<1 $ vale $ \displaystyle \sum_ {i=0}^{\infty} x^i = \frac {1}{1-x} $.
!