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Esiste una potenza di 2 (con tutte le cifre diverse da 0)che scritta in base 10 ha le cifre tutte uguali a quelle di un'altra potenza di 2(ovviamente anche questa scritta in base 10 e senza 0)??

Non esiste.. Perchè per esistere dovrebbero avere lo stesso numero di cifre.. E le potenze che tra loro hanno lo stesso numero di cifre possono essere al massimo 4.
Quindi se abbiamo:
$ 2^n $ i possibili numeri per cui si verifica quanto richiesto potrebbero essere $ 2^{n-1} $, $ 2^{n-2} $ e $ 2^{n-3} $..
Se le cifre sono uguali passando da una potenza all'altra il resto della divisione per 3 dovrebbe rimanere invariato..

Allora se passo da $ 2^{n-3} $ a $ 2^n $ devo moltiplicare per 8 che è congruo a 2 (mod 3).. Quindi se il numero di partenza era congruo a 1 ottengo un numero congruo a 2 e se era congruo a 2 ne ottengo uno congruo a 1 (una potenza di due ovviamente non può essere congrua a 0, quindi il caso lo escludo a priori).

Se passo da $ 2^{n-2} $ a $ 2^{n} $ devo moltiplicare per 4.. Allora stavolta uso il modulo 9 e i possibili resti che possono dare le potenze di 2 sono (1,2,4,8,7,5).. Noto che se $ 2^{n-2} $ da uno di quei resti, moltiplicato per 4 da un altro resto.. Quindi anche questo passaggio è impossibile..

Ora passo da $ 2^{n-1} $ a $ 2^{n} $.. Moltiplicando per 2 (ora modulo 3), se il resto era 1 diventa 2, se era 2 diventa 1, quindi è impossibile.. Insomma se non ho cannato qualcosa la risposta è no.

Va bene. La mia soluzione era uguale alla tua solo che analizzo sempre la somma delle cifre ma modulo 9.

o anche, l'ultima cifra è 2,4,8,6.

Ehm... l'idea dell'esercizio è che puoi cambiare l'ordine delle cifre.

questo succede quando non si pensa. epic fail.

Un'idea alternativa (non poi così tanto, dato che si usa sempre mod 9) è dimostrare che $9\nmid 2^x-2^y$ con $0\leq x-y\leq 4$
Infatti se, per esempio $2^x=100a+10b+c$ allora uno dei possibili $2^y$ è $100c+10a+b$ e dunque la differenza è $90a+9b-99c$

In generale, facendo la differenza di due numeri che hanno le stesse cifre, si ottiene un numero divisibile per 3 (o 9)

E se si dimostra che 9 non divide una differenza, allora i due numeri non hanno le stesse cifre!