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Sia $x_1=2$, $\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n^4+1}{5x_n}$. Dimostrare che $\displaystyle \frac{1}{5} \leq x_n < 2$ per ogni $n>1$

Penso tu volessi scrivere $ \frac{1}{5} < x_n \leq 2 $ in ogni caso per assurdo $ \frac{x_n ^4 + 1}{5x_n} < \frac{1}{5} \iff x_n > x_n^4 +1 $ ma, se $ x_n<1 $ chiramente $ x_n< 1+ x^4 $ se $ x_n>1 $ allora $ x_n< x_n^4 \implies x_n< x_n^4 +1 $. per quanto riguarda la limitazione superiore non mi sembra difficile ma ho trovato solo una soluzione brutta e piuttosto calcolosa, aspetto se qualcuno trova qualcosa di elegante sennò la metto.
Metto in compenso alcuni Bonus non difficili (scrivo accanto se li ho risolti o meno per evitare di mandarvi incontro a cose che poi si rivelano essere congetture aperte xD)

Bonus 1: a quanto tende $ x_n $? (facile)

Bonus 2: tra quali valori può variarire $ x_1 $ affinchè il risultato non cambi ? (il superiroe è semplice, l'inferiore mi è venuto calcoloso (edit: in realtà più che calcoloso è proprio da calcolatore, se volete scrivete solo come trovarlo ))

Bonus 3: la stima di 1/5 con estremo inferiore si può chiaramente migliorare. quanto vale $ \inf \{ x_i \} $ in funzione di $ x_1 $? (non ancora risolto)

per quanto riguarda il bonus 1... ok che sapendo che il limite esiste trovarlo è facile, ma tu come hai fatto a dimostrare che la successione converge ?

Ok scusate efftivamente il dimostrare che il limite esite non mi sembra essere banale.

Beh, provateci ma se proprio siete incastrati fatevi vivi, il modo dovrebbe esserci... queste ricorrenze del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$, con $f$ almeno $C^1$, si fanno tutte più o meno con le stesse tecniche (warning: potrebbero servire un po' di derivate qua e là).

Scriviamo i primi termini della successione per capire come funziona

$ x_1 = 2 $
$ x_2 = 1,7 $
$ x_3 = 1,1002... $
$ x_4 = 0,4481... $
$ x_5 = 0,4642... $
$ x_6 = 0,4507... $
$ x_7 = 0,4619... $

Ipotizziamo esista il limite. Se esiste, dovrà essere soluzione dell'equazione $ x_n = f(x_n) $ con $ \frac {1}{5} > x_n \leq 2 $. Si trova la biquadratica $ {x_n^4-5x_n^2+1=0} $ da cui l'unica soluzione nel nostro intervallo è $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \simeq 0,45685 $.
Notiamo che tutti i termini dispari della nostra successione sono maggiori del limite e sono descrescenti, proviamo a dimostrarlo.
Considero la sottosuccessione $ x_{2n+1} $ e voglio dimostrare che è $ \geq x_{2n+3} $ che a sua volta è $ \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ .
Dimostraimo prima la prima disuguaglianza sostituendo per comodità $ x $ a $ x_{2n+1} $ . E' dunque da dimostrare che $ \displaystyle x \geq f (f(x)) \iff x\geq \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \iff x^4 +1 \geq (\frac{x^4+1}{5x}) +1 \iff x^4-5x^2+1 \leq 0 $ che per l'intervallo che ci interessa da come valori buoni $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \leq x \leq \displaystyle \sqrt {\frac{5+ \sqrt {21}}{2} } > 2 $ . Quindi basta dimostrare la seconda disuguaglianza di sopra e lo faccio per induzione
$ x_1=2 $ e va bene
Supponiamo che $ x_{2n+1} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ voglio dimostrare che $ x_{2n+3} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ come prima sostituisco $ x $ al posto di $ x_{2n+1} $ e ho $ \displaystyle \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . Dove $ \displaystyle LHS = {\displaystyle \frac{1}{5 }\cdot (\frac {x^4+1}{5x} })^3 + \frac {x}{x^4+1} $ . La derivata del primo membro (chiamiamolo g(x) )si può fattorizzare come $ \displaystyle \frac{3 ( x^4+1)^2 ( 3x^4-1)}{625 x^4 } $ da cui essendo tutti i termini tranne uno sempre positivo si può concludere che nell'intervallo cercato il punto in cui si annulla la derivata , cioè $ \frac{1}{\sqrt[4] 3} $ è un minimo. Per quanto riguarda il secondo membro (chiamiamolo h(x) ) la derivata è$ \frac{ 1-4x^3}{(x^4+1)^2} $ ciò che ci interessa è che nell'intervallo $ \displaystyle [ 0 , \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ la derivata è positiva e la funzione è crescente. Sfruttiamo ora l'ipotesi induttiva che ci dice che $ x \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . e ci calcoliamo $ h( \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} }) \simeq 0,43778 $ (approssimato per difetto). Sappiamo quindi che il LHS totale nell 'intervallo $ \displaystyle [0, \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ è $ \geq \frac{1}{\sqrt [4] 3} $ (poichè è minimo)$ + $ $ 0,43778 $ ( poichè funzione è crescente) $ \simeq 1,197 $. Quindi per $ x< \frac{1}{\sqrt [4] 3} \simeq 0,759 $ siamo apposto, ma per i valori maggiori non ci interessa poichè sappiamo che $ x_5 = 0,4642 $ e che la sottosuccessione è decrescente per tutti i valori maggiori del limite (dimostrato su).

Quindi si conclude dicendo che essendo una sottosuccessione monotòna descrescente, questa ammette limite e tale limite è proprio $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $.

A questo punto andrebbe fatto un ragionamento analogo per la sottosuccessione degli indici pari, partendo questa volta da $ x_4 $ e dimostrando che è monotòna crescente che quindi anch'essa ammetterà limite... il limite sarà lo stesso e dunque i limite della successione sarà quello.

fph ha scritto:Beh, provateci ma se proprio siete incastrati fatevi vivi, il modo dovrebbe esserci... queste ricorrenze del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$, con $f$ almeno $C^1$, si fanno tutte più o meno con le stesse tecniche (warning: potrebbero servire un po' di derivate qua e là).

Questo mi ha ispirato
viewtopic.php?f=13&t=16426

Piazzo nascosto quello che ho trovato (non sul problema di questo thread ma sul caso generale): EDIT: WOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ho detto giusto (controllato su wiki )

$\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$