Sottofibrati vettoriali

[DarkSepiroth]

Consideriamo $M$ varietà differenziabile.
Sia $\pi: E \to M$ fibrato vettoriale di rango $r$, $F \subseteq M$ sottovarietà, $E_p$ la fibra su p, $\pi_F$ la restrizione della proiezione.
Se $\pi_F$, con fibre $E_p \cap F$ risulta essere un fibrato di rango $\ell$, lo diremo sottofibrato di $\pi$.
Mi chiedo se c'è un modo semplice di dimostrare la seguente cosa (nelle ipotesi sopra).
$\forall p \in M$, esistono un intorno $U$ di p e una banalizzazione locale $\chi: \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbb{R}^r$ tali che
$\chi(\pi^{-1}(U) \cap F) = U \times \mathbb{R}^{\ell} \times {0} \subset U \times \mathbb{R}^{\ell} \times \mathbb{R}^{r - \ell} $

[EvaristeG]

Direi che la domanda non ha senso:
$E_p=\pi^{-1}(\{p\})$
quindi $E_p\cap F=\{p\}$.
D'altra parte, se restringi un fibrato di rango r su M ad una sottovarietà di M ottieni ancora un fibrato di rango r, ma sulla sottovarietà di M. Per cui l=r e quello che vuoi tu segue banalmente dal fatto che una sottovarietà $\mathcal{C}^1$ ha localmente un intorno tubolare che si banalizza come prodotto.

Se invece F è sottovarietà di E, localmente puoi mettere su E un prodotto scalare liscio, per cui se F è un sottofibrato il suo ortogonale in E fibra per fibra lo è anche. Allora basta scegliere localmente una base di F e completarla ad una base di E, poi applicare l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt e hai ottenuto il tuo isomorfismo con $\mathbb{R}^r\times\mathbb{R}^{l-r}$.