Primi e potenze

[Sonner]

Risolvere $2^n=p+3^p$ con $n$ naturale e $p$ primo.

[Hawk]

Cosa indica il P sul tre?

[Sonner]

Sì scusa p minuscolo.

[ngshya]

Mi sono perso qualcosa, o per n abbastanza grande, basta anche solo che p sia congruo a 5 modulo 8?

[<enigma>]

Mi sono perso qualcosa, o per n abbastanza grande, basta anche solo che p sia congruo a 5 modulo 8?

Certo. Ragionando per moduli trovi man mano che $p \equiv 1 \pmod 4$, $p \equiv 5 \pmod 8$, eccetera. Questa condizione però è necessaria, non sufficiente...

[ngshya]

Em... avevo una mezza idea di voler dimostrare che quel $ p+3^p $ da un certo punto in poi sia sempre compreso fra due potenze di 2 consecutive. Ma non ho ancora scritto niente... e quindi non saprei.

[Drago96]

$2^n\equiv 3\pmod p$ serve a poco, vero?

[Hawk]

Cancello tutto che è sbagliatissimo.

[dario2994]

$ \begin{cases} p\equiv 1 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ giocandoci un po' si vede subito che non ha soluzione per nessun primo p

$p=13$

$ \begin{cases} p\equiv 2 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ perciò deduco per il teorema cinese del resto $ p=12k-3 $ che non è primo (qui c'è qualcosa che non mi quadra)

$p=5$

[Drago96]

Non capisco tutti quei casini prima di arrivare al sistema di congruenze...

$ \begin{cases} p\equiv 1 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ giocandoci un po' si vede subito che non ha soluzione per nessun primo p.

$p=13$ .

$ \begin{cases} p\equiv 2 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ [...] $ p=12k-3 $ che non è primo (qui c'è qualcosa che non mi quadra

Infatti quel sistema ha soluzione $p=12k+5$

[Hawk]

Appena ho un po' di tempo edito gli errori e completo la dimostrazione.

[Sonner]

Ah per la cronaca non me la sono inventata, sta in una dispensa che gira su mathlinks già da un po'

[Hawk]

Cancellato il post sbagliato di prima. Ecco la mia soluzione che spero sia corretta.
$ 2^n=3^p+p $, una soluzione è $ (n,p)=(2,1) $. Supponiamo da ora $ p>2 $ primo.
$ p $ primo $ \Rightarrow $ $ p $ dispari $ \Rightarrow p=2a_1+1 $ con $ a_1 \in \mathbb N $.
Anche $ 3^p $ è dispari $ \Rightarrow 3^p=2b_1+1 $ con $ b_1 \in \mathbb N $.
$ 2^n=3^p+p \Rightarrow 2^n= 2b_i+1+2a_1+1=2(b_1+a_1+1) \Rightarrow 2^{n-1}=b_1+a_1 +1 $.
1) Adesso se $ a_1 $ e $ b_1 $ sono entrambi pari $ \Rightarrow 2k_1+2m_1+1=2^{n-1} $ che è impossibile.
2) Suppongo $ a_1 $ e $ b_1 $ entrambi dispari $ \Rightarrow 2t_1+1+2l_1+1+1=2^{n-1} $ che è ugualmente impossibile.
3) L'equazione è simmetrica nelle variabili $ a_1 $ e $ b_1 $, suppongo quindi $ a_1 $ dispari e $ b_1 $ pari. $ 2^{n-1}=2a_2 + 2b_2 +2=a_2+b_2+1 \Rightarrow 2^{n-2}=a_2+b_2+1 $.
Iterando su $ a_n $ e $ b_n \Rightarrow 2^{n-n}=a_n+b_n+1 \Rightarrow a_n+b_n=0 $ ma siccome $ (a_n,b_n) \in \mathbb N^2 \Rightarrow a_n=b_n=0 $ da cui deduco $ p=1 $. L'equazione non ammette soluzioni a meno che si consideri 1 numero primo.

[dario2994]

$ a_n=b_n=0 $ da cui deduco $ p=0 $

Peraltro hai dimostrato che una potenza di 3 non si può scrivere come somma di due numeri dispari

[Hawk]

La soluzione quindi è corretta? Mi chiedevo se c'era una soluzione che sfruttava le congruenze...
Comunque qual è la dispensa?