Sommatorie e parti intere
Inviato: 16 nov 2011, 19:46
E' un problema ancora aperto per me, anche se ho già un bel po' di idee... 
Determinare, per ogni $n$ naturale, il valore di $$\sum_{k = 0}^\infty\bigg\lfloor\frac{n+2^{k}}{2^{k+1}}\bigg\rfloor =\Big\lfloor\frac{n+1}{2}\Big\rfloor+\Big\lfloor\frac{n+2}{4}\Big\rfloor+\cdots+\bigg\lfloor\frac{n+2^{k}}{2^{k+1}}\bigg\rfloor+\cdots$$
Io pensavo di dimostrare per induzione che quella somma è uguale a $n$, anche se con quelle parti intere mi sembra un po' complicato...
Inoltre considero solo i primi $x$ termini, dove $x$ è il maggior $k$ tale che $n\geq 2^k$ .
Da qua sopra, si vede che ad ogni potenza di 2 cambio il numero di addendi da tenere in considerazione;
inoltre gli addendi crescono in modo piuttosto regolare: prima il 1°, poi il 2°... poi il penultimo; poi aumenta il 1°... fino al terzultimo; eccetera...
(o almeno, così mi pare dai pochi casi fatti a mano... magari domani mi faccio un programmino...)
Voi avete idee, osservazioni, dimostrazioni, ecc ?
Determinare, per ogni $n$ naturale, il valore di $$\sum_{k = 0}^\infty\bigg\lfloor\frac{n+2^{k}}{2^{k+1}}\bigg\rfloor =\Big\lfloor\frac{n+1}{2}\Big\rfloor+\Big\lfloor\frac{n+2}{4}\Big\rfloor+\cdots+\bigg\lfloor\frac{n+2^{k}}{2^{k+1}}\bigg\rfloor+\cdots$$
Io pensavo di dimostrare per induzione che quella somma è uguale a $n$, anche se con quelle parti intere mi sembra un po' complicato...
Inoltre considero solo i primi $x$ termini, dove $x$ è il maggior $k$ tale che $n\geq 2^k$ .
Da qua sopra, si vede che ad ogni potenza di 2 cambio il numero di addendi da tenere in considerazione;
inoltre gli addendi crescono in modo piuttosto regolare: prima il 1°, poi il 2°... poi il penultimo; poi aumenta il 1°... fino al terzultimo; eccetera...
(o almeno, così mi pare dai pochi casi fatti a mano... magari domani mi faccio un programmino...)
Voi avete idee, osservazioni, dimostrazioni, ecc ?
Alla fine è proprio solo un riporto!