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Ammetto di non sapere se esiste una soluzione elementare e olimpicamente decente, comunque...

Determinare massimo e minimo (se esistono) di $(x+y+z)^2$ sotto la condizione $x^2+2y^2+3z^2=1$

Provo a risolvere il massimo.
Per Cauchy Schwarz
$ (x+y+z)^2 \leq (x^2+2y^2+3z^2)(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{11}{6} $
L'uguaglianza vale quando $ x=3\sqrt{\frac{2}{33}}, y=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{33}}, z=\sqrt{\frac{2}{33}} $

Beh, il minimo non è un granché:
prendiamo $ x= \frac{-2}{\sqrt{33}}, y=\frac{-1}{\sqrt{33}}, z=\frac{3}{\sqrt{33}} $, questa terna soddisfa la condizione ed è tale che $ x+y+z=0 $ il che ovviamente significa che il minimo è $ 0 $.