Un vecchio criterio di primalità
Inviato: 20 nov 2011, 00:24
Dimostrare che $n$ e' primo se e solo se per ogni $(a,b,c,d)$ in interi positivi tali che $a+b+c+d=n$ vale $ab-cd\neq 0$.
Brucio perchè è una bella giornata per bruciare:
Se $n$ è composto, allora esistono $u,v>1$ tali che $n=uv$, ma allora $(a,b,c,d)=((u-1)(v-1),1,u-1,v-1)$ è una quadrupla che rispetta le ipotesi.
Dato $n$ assumo che esista una quadrupla $(a,b,c,d)$ che rispetta le ipotesi, allora:
$n=a+b+c+d=a+b+c+\frac{cd}{c}=a+b+c+\frac{ab}{c}=\frac{ac+bc+c^2+ab}{c}=\frac{(a+c)(b+c)}{c}$
E l'ultimo membro è chiaramente non primo perchè $c$ al denominatore è strettamente minore di entrambi i fattori al numeratore, quindi $n$ è composto.
