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Dimostrare che se $0\leq a,b,c \leq 1$ allora

$$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1} \leq 2$$

Trovare il massimo dell'espressione sopra anche con $0\leq a,b,c \leq k$.

Prima di tutto pongo $a \le b \le c$ perché la disuguaglianza è simmetrica. Ora supponiamo di moltiplicare le tre variabili per un numero $m$ tale che $1 \le m \le \dfrac{1}{c}$, ottenendo una nuova terna $a'=ma,$ $b'=mb,$ $c'=mc$ che rispetta l'ipotesi. In particolare risulterà $\dfrac{a}{bc+1} \le \dfrac{a'}{b'c'+1}$: infatti, dalle condizioni imposte su $m$ segue che:
- $m-1 \ge 0$,
- $mbc \le b \le 1 \Rightarrow mbc-1 \le 0$;
da cui $(m-1)(mbc-1) \le 0$, che diventa $m^2bc+1 \le m(bc+1)$

Ora elevo alla $-1$ (cambiando il verso della disuguaglianza), moltiplico per $ma$ e sostituisco:
$\dfrac{ma}{m^2bc+1} \ge \dfrac {ma}{m(bc+1)} \Rightarrow \dfrac{a'}{b'c'+1} \ge \dfrac{a}{bc+1}$, e lo stesso vale per gli altri termini: questo significa che il primo membro è massimo se $c=1$, quindi ora dobbiamo massimizzare $\dfrac{a}{b+1}+\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{1}{ab+1}=s+\dfrac{p^2-p}{s+p+1}+\dfrac{1-p-p^2}{p+1}$, dove $s$ è la somma di $a$ e $b$, mentre $p$ è il loro prodotto.

Se consideriamo $p$ come un parametro (sicuramente compreso tra $0$ e $1$), la funzione $f(s)=s+\dfrac{p^2-p}{s+p+1}$ è crescente, in quanto somma di due funzioni crescenti, nell'intervallo $]-p-1,+\infty[$, e a maggior ragione in $[0,2]$ (il terzo termine è trascurabile perché, essendo una costante, non influisce sul fatto che $f$ sia crescente o meno); dunque dobbiamo massimizzare $s$, e per farlo dobbiamo porre $b=1$

Ritornando alla disuguaglianza iniziale, il primo membro diventa $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a+1}$, che è una funzione convessa in $[0,1]$, per cui il massimo valore possibile è ottenuto da uno dei due estremi dell'intervallo, quindi basta provare con $a=1$ e $a=0$: confrontando i due risultati ottenuti, il più grande è proprio $2$ (ottenuto con $a=0$)

P.S.: qualcuno mi potrebbe dare una mano a migliorare la seconda parte? Sono sicuro che esiste una strada più elegante e con meno calcoli...