OliForum Matematico

Salve a tutti.
Avrei bisogno, per favore, di un aiuto per questo esercizio :
provare che l'equazione $ 3x^2-7y^2+1=0 $ ha infinite soluzioni negli interi positivi x, y.

So che è un'equazione riconducibile ad un' equazione di Pell, ma non riesco a provare la tesi.

Tra l' altro ho cercato di fattorizzare in questo modo :
$ 3(x-y)(x+y)=(2y-1)(2y+1) $
poi uno dei due fattori al secondo membro deve essere multiplo di 3, quindi
ho posto :
$ 2y-1=3k $ con k intero positivo maggiore o uguale a 1.
Da questa ho dedotto che $ k $ deve essere dispari, cioè$ k = 2n+1 $ con n numero
naturale.
Allora $ y = 3n + 2 $

Sostituendo nell'equazione di partenza ottengo che :
$ x^2=21n^2+28n+9 $

ma non riesco a dimostrare per quali valori di n il trinomio
al secondo membro è un quadrato perfetto.

Non lo so.....forse c'è una falla in quello che ho fatto...o forse è
semplicemente un vicolo cieco..

Ringrazio fin da ora se qualcuno potrà aiutarmi.

Ciao

Pier

Allora..
$ y= {\sqrt{28+84x^2}\over14} $; da cui $ \Delta=k^2 $
Quindi ci limitiamo a risolvere $ k^2-84x^2=28 $ negli interi.
Questa è un' equazione di pell solo che non sono praticissimo con termini noti diversi da $ \pm 1 $.
Trovi le soluzioni che come tali sono infinite e il problema è risolto

LeZ ha scritto:Allora..
$ y= {\sqrt{28+84x^2}\over14} $; da cui $ \Delta=k^2 $
Quindi ci limitiamo a risolvere $ k^2-84x^2=28 $ negli interi.
Questa è un' equazione di pell solo che non sono praticissimo con termini noti diversi da $ \pm 1 $.
Trovi le soluzioni che come tali sono infinite e il problema è risolto

No, oltre a porre il radicando quadrato devi anche porre la frazione intera...

Dimenticavo la frazione intera
Ad ogni modo il radicando è gia posto al quadrato.