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Dimostrare che,per ogni intero $x$ , il numero $x^2+5x+16$ non è divisibile per 169.
Io credo di averlo risolto e vorrei confrontare la mia soluzione con le vostre...

Brutalmente:
analizzando modulo $13$ troviamo che deve valere $x\equiv 4 \pmod {13}$ quindi sostituiamo $x=13n+4 \Rightarrow 169n^2+169n+52$ da cui la tesi.
C'è l'analisi brutale modulo 13 che è brutta, però non ci vuole molto effettivamente, forse c'è qualche metodo più elegante.

Beh, non è un granché... uno nota che $ 5\equiv -8 $ modulo 13, quindi si riscrive quel polinomio come $ x^2-8x+16\equiv (x-4)^2\equiv 0 $. Ora (poiché vale la legge di annullamento del prodotto) si deve avere $ x-4\equiv 0 $ che è quello che ti serviva.
Comunque, anche conoscendo una soluzione di $ x^2+5x+16\equiv 0 $ modulo 13 non era difficile trovarle tutte. (Infatti sono al più 2, e hanno somma $ \equiv -5 $ mod 13).

Io l'avevo risolto in questo modo...
Si vede subito che $x^2+5x+16$ è pari per ogni $x$, da qui, se deve essere divisibile per 169 e per 2 allora pongo $x^2+5x+16=169\cdot 2 \cdot n$
Da qui $x$ deve avere soluzioni intere, quindi il delta deve essere un quadrato perfetto...ma l'equazione $169\cdot 8\cdot n-39=k^2$ non ha soluzioni intere...se analizziamo infatti questa equazione modulo 13 avremo che $k=13k_1$ e quindi $169\cdot 8 \cdot n-39=169k_1^2$ che è assurda mod 169...
secondo voi è una soluzione corretta?

E' molto più semplice cosi: $ (x-4)^2+13x $ , affinché sia divisibile per $ 169 $ $ x $ deve avere due valori contemporaneamente, $ 17 $ e $ 13 $ o $ 4 $ e $ 13 $. Assurdo

Per essere divisibile per 169 non è necessario che entrambi gli addendi lo siano...
Cioè quello che hai scritto porta anche alla soluzione, forse è sottointeso, ma da come hai scritto non si capisce molto...