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Dimostrare che

$$\prod_{j=1}^{n}j!<3^{2^{n-1}}$$

Se qualcuno ha una costante migliore di $3$, proponga pure... come al solito i rilanci sono accettati e incoraggiati...

Possiamo dimostrare per induzione. Primo passo: dimostro che la tesi è vera se $$n!<3^{2^{n-2}}$$ per ogni n maggiore o uguale a 1.
Infatti per n=1 vediamo banalmente che lo è, e se la tesi è vera per un dato n, moltiplicando per l'espressione sopra si ha che è vera anche per il suo successivo.

Ora dimostriamo ciò che ho appena supposto. Una volta risolti i casi banali (n<3) sarà sufficiente vedere che è sempre vera $$n<3^{2^{n-3}}$$ Infatti moltiplicando per questa espressione la prima abbiamo che, se essa è vera per un certo n, è vera anche per il suo successivo. Ma essa sarà sempre vera, perché è vera per n=3 e se è valida per un certo n, è valida anche per il suo successivo. Si può dimostrare facilmente vedendo che aggiungere 1 a n equivale ad aggiungere 1 al membro di sinistra ed elevare al quadrato quello di destra, quindi aggiungergli qualcosa di superiore a 1.

Io avevo pensato di fare una cosa del tipo: noto che incrementando $ n $ di $ 1 $, il secondo membro viene elevato al quadrato. Poi provo "manualmente" i casi di n che va da 1 a 4 perchè in quell'intervallo $ n > (n-2)! $, quindi il primo membro viene moltiplicato per un numero più grande di sè stesso e quindi l'aumento è maggiore di un elevamento al quadrato. Dopodichè: per $ n \geq 5 $ si ha che il secondo membro viene ogni volta elevato al quadrato, mentre il primo membro viene moltiplicato per una fattore minore di sè stesso e quindi l'aumento è minore di un elevamento al quadrato.. Per cui se il primo membro è più piccolo del secondo, anche il suo quadrato sarà più piccolo del quadrato del secondo membro.

Una soluzione diversa. La tesi comunque vale solo se $ n>1 $.
$ \displaystyle\prod_{j=1}^{n}j!<3^{2^{n-1}} $ per dimostrare questo fatto uso una proprietà: $ \log \displaystyle\prod=\displaystyle\sum \log $.
Riscriviamo la disequazione come $ 2^{n-1}>\log_3\left(\displaystyle\prod_{j=1}^{n}j!\right) $ e sostituiamo il secondo membro con quanto detto sopra: $ 2^{n-1}>\displaystyle\sum_{j=1}^n \log_3(j!) $
Usiamo adesso l'induzione:
Si verifica facilmente vera per $ n=3 $.
Supponiamola vera per $ n $ e dimostriamola vera per $ n+1 $.
$ 2^n>\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} \log_3(j!) $ che riscriviamo come:
$ 2^{n-1}+2^{n-1} > \displaystyle\sum_{j=1}^n \log_3(j!)+\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} \log_3(j) $
adesso mi basta semplicemente dimostrare questo $ \displaystyle\sum_{j=1}^n \log_3(j!) \geq \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \log_3(i) $, riscriviamo il primo membro così: $ \displaystyle\sum_{j=1}^n \displaystyle\sum_{i=1}^j \log(i)\geq \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \log_3(i) $, da cui si vede che è banalmente vera $ \forall n>2 $.
Rimane solo il caso di $ n=2 $ che facciamo a mano: $ 9>2 $ che è vera.
La tesi è dimostrata.