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Come si può risolvere questo quesito?
Dato $ n\geq3 $ e intero dispari, determinare quante soluzioni reali ci sono a questo sistema di $ n $ equazioni.

$ \begin{cases} x_1(x_1+1)=x_2(x_2-1) \\ x_2(x_2+1)=x_3(x_3-1) \\ . \\ \\. \\ x_n(x_n+1)=x_1(x_1-1) \end{cases} $

Posto $x_{n+1}=x_1$, supponendo che $x_{k}+x_{k+1}\neq 0$, si ha che il sistema diventa composto da $n$ equazioni: la $k-$ esima di queste n equazioni è $x_{k}-x_{k+1}=-1$. Ma tale sistema non ha chiaramente soluzioni perchè sommando tutte le equazioni ottenute si ottiene $0=-n$. Quindi si deve avere che $x_1=-x_2$. La seconda equazione così diventa $x_1(x_1-1)=x_3(x_3-1)$ che vale ovviamente solo per $x_1=x_3$. Nella quarta equazione si ripete lo stesso ragionamento fatto sopra, e così procedendo si conclude che $x_k=(-1)^{k+1}x_1$ Essendo ora n dispari per ipotesi, l'ultima equazione diventa $x_1^2+x_1=x_1^2-x_1$ da cui $x_1=0$. Quindi l'unica soluzione al sistema è $(\underbrace{0,0, \dots , 0,0}_{n})$. Se invece $n$ fosse stato pari, l'ultima equazione sarebbe stata $x_1^2-x_1=x_1^2-x_1$ e quindi le soluzioni al sistema sarebbero state infinite.

Da dove l'hai preso ?

Mist ha scritto: La seconda equazione così diventa $x_1(x_1-1)=x_3(x_3-1)$ che vale ovviamente solo per $x_1=x_3$.

Perchè?

la seconda equazione era $x_2(x_2+1)=x_3(x_3-1)$ che ponendo $x_2=-x_1$ diventa quello che ho detto...

Mist ha scritto:la seconda equazione era $x_2(x_2+1)=x_3(x_3-1)$ che ponendo $x_2=-x_1$ diventa quello che ho detto...

Il problema è il secondo pezzo dell'affermazione.

Mist ha scritto:la seconda equazione era $x_2(x_2+1)=x_3(x_3-1)$ che ponendo $x_2=-x_1$ diventa quello che ho detto...

$x_1(x_1-1)=x_3(x_3-1)$ sse $|2x_1-1|=|2x_3-1|$ sse $(x_1-x_3)(x_1+x_3-1)=0$; ora, da cosa concludi che $x_1=x_3$?

L'ho dato per scontato per qualche motivo Vedo se si aggiusta...

Per prima cosa poniamo $ x_1=a $.
Risolviamo innanzitutto il sistema costituito dalle prime $ n-1 $ equazioni, riservandoci solo alla fine di mettere il risultato a sistema con l'ultima equazione.
Risolvendo le singole equazioni, vediamo che $ x_{i+1}=-x_i $ v $ x_{i+1}=x_i+1 $ $ \forall $ $ 1 \leq i < n $.
Consideriamo le $ 2^{n-1} $ $ n $-uple di interi ($ k_1 $, ..., $ k_n $) tali che: $ k_1=0 $, $ k_{i+1}=-k_i $ v $ k_{i+1}=k_i+1 $ $ \forall $ $ 1 \leq i < n $.
Dimostreremo che, per ogni scelta di $ a $ reale, sono soluzioni del sistema tutte e sole le ($ 2^{n-1} $) $ n $-uple ($ x_1 $, ..., $ x_n $) così definite: $ x_{i}= (-1)^{k_{i}+i+1}a+k_{i} $ $ \forall $ $ 1 \leq i \leq n $.
Procediamo per induzione. Chiaramente per $ i=1 $, $ k_1=0 $ e ci troviamo.
Supponiamo che, per un $ i<n $, $ x_{i}= (-1)^{k_{i}+i+1}a+k_{i} $. Allora ci accorgiamo che $ x_{i+1} $ può avere i due seguenti valori:
$ -(-1)^{k_i+i+1}a-k_{i}=(-1)^{(-k_i)+(i+1)+1}+(-k_1) $ (nel qual caso si ha $ k_{i+1}=-k_{i} $)
$ (-1)^{k_{i}+i+1}a+k_{i}+1=(-1)^{(k_i+1)+(i+1)+1}+(k_i+1) $ (e allora $ k_{i+1}=k_{i}+1 $).
Verificato ciò, recuperiamo l'ultima equazione del sistema iniziale: $ [ (-1)^{k_n+n+1}a+k_n][ (-1)^{k_n+n+1}a+k_n+1]=a(a-1) $
Giocandoci un pò vediamo che tale equazione ha un'unica soluzione: se $ k_n $ è pari $ a= \displaystyle - \frac{k_n}{2} $, mentre se $ k_n $ è dispari $ a= \displaystyle \frac{k_n+1}{2} $.
Concludiamo che per ogni $ n $-upla ($ k_1 $, ..., $ k_n $) esiste un $ a $ per il quale $ x_{i}= (-1)^{k_{i}+i+1}a+k_{i} $ $ \forall $ $ 1 \leq i \leq n $ risolve il sistema, e che quindi il suddetto sistema ha esattamente $ 2^{n-1} $ soluzioni.
Bonus facile: dimostrare che tutte le soluzioni del sistema vanno ricercate nell'intervallo [$ \displaystyle -\frac{n-1}{2} $, $ \displaystyle \frac{n-1}{2} $].