OliForum Matematico

Robin Hood e Mr. Bean si sfidano in una gara di tiro con l’arco. Il bersaglio è un cerchio di raggio 1 e
vince chi lo colpisce più vicino al centro. Ciascuno effettua un solo tiro, ed entrambi sono abbastanza
abili da colpire con certezza il bersaglio, ma:
- Mr. Bean colpisce “alla cieca”, ossia con probabilità uniforme in qualsiasi parte del bersaglio;
- Robin Hood ha probabilità $r$ di colpire il bersaglio ad una distanza dal centro non maggiore di $r$
(per ogni $0\leq r \leq 1$).
Con che probabilità sarà Mr. Bean a vincere la gara?

Ditemi che non sono l'unico che lo trova così ostico...

Beh se definiamo la probabilità che Mr. Bean ha di colpire una certa parte di circonferenza di area $A_p$ come $\displaystyle\frac{A_p}{A_{circonferenza}}$ allora la probabilità che ha di colpire ad una distanza minore di $r$ è $r^2$.
La probabilita, invece, che Robin colpisca ad una distanza maggiore di $r$ è $1-r$. Quindi la probbilità che vinca Mr.bean dovrebbe essere $\displaystyle \int_0^1{r^2(1-r)}\ dr=\frac1{12}$.
Siccome sconosco totalmente questa teoria della probabilità più "avanzata" potrei aver fatto errori teorici, comunque forse per uno spirito olimpico non bisognerebbe usare gli integrali ...

Claudio. ha scritto: La probabilita, invece, che Robin colpisca ad una distanza maggiore di $r$ è $1-r$.

No, perchè nel testo è scritto che entrambi sono abbastanza bravi da colpire con certezza il bersaglio...

Io ho fatto così: la probabilità che si colpisca una determinata area $B$ interna ad una determinata area $A$ è pari a $\displaystyle \frac{B}{A}$. In questo caso, se il primo lanciatore manda la freccia ad una distanza $r$ dal centro del bersaglio, il secondo ha probabilità $\displaystyle p(r)=\frac{\pi r^2}{\pi} = r^2$. Se vogliamo calcolare la probabilità su tutte le possibilità di $r$, dobbiamo calcolare $\displaystyle \int_{0}^{1}p_r dr = \frac{1}{3}$...

La prima frase sta come "La probabilità che colpiscano il bersaglio è $1$".
Adesso come hai fatto tu non tieni conto affatto delle "abilità" di Robin o sbaglio? La probabilità che vinca Bean non è semplicemente la probabilità che lui la lanci a distanza inferiore di $r$ ma questa va anche moltiplicata per la probabilità che Robin la lanci oltre $r$, e dopo le sommi tutte (integri)....adesso siccome la probabilità che Robin colpisca il bersaglio è 1 e la probabilità che la mandi prima di $r$ è $r$, la probabilità che la mandi oltre $r$ dovrebbe essere $1-r$...

è un po' come: Trovare la probabilità che tirati due dadi diversi il primo sia maggiore del secondo.
Adesso seguendo il tuo ragionamento dovremmo fare: sia $n$ il numero che esce nel primo dado allora la probabilità è $\frac{6-n}6$ quindi $\displaystyle\sum_1^6 \frac{6-n}6$.
In realtà bisogna anche moltiplicare per la probabilità che nel primo dado esca un determinato numero cioè $\frac16$ quindi $\displaystyle\frac16\sum_1^6 \frac{6-n}6$, te ne puoi accorgere calcolando la stessa probabilità in altri modi ^^. Adesso quì è la stessa cosa solo che la variabile è (qual è il termine corretto? intendo dire che la variabile può assumere infiniti valori di un intervallo completo e non solo alcuni specifici e limitati), quindi al posto della sommatoria bisogna usare un integrale.
Comunque aspettiamo che qualcuno o il risultato ci salvi.

Boh io mi sono confrontato con un mio amico che sa un po' di teoria su queste cose e come risultato abbiamo ottenuto che robin hood vince con probabilità $ 2/3 $, quindi Mr. Bean dovrebbe vincere con probabilità $ 1/3 $

Qualcuno chiarisca....a me sembra che in quel modo non si tenga affatto conto della seconda condizione, il che non mi sembra corretto...

Claudio. ha scritto: La probabilità che vinca Bean non è semplicemente la probabilità che lui la lanci a distanza inferiore di $r$ ma questa va anche moltiplicata per la probabilità che Robin la lanci oltre $r$

In combinatoria faccio più schifo che nelle altre "materie" XD mi spieghi perchè devo moltiplicare ? a me interessano in fondo le probabilità degli eventi che accadono DOPO che robin ha lanciato la freccia, al variare della posizione della freccia sul bersaglio...

P.S. finalmente ho vinto la mia pigrizia nel rispondere alle risposte ai miei post ahah

Beh perchè comunque sono due fatti precisi che devono accadere contemporaneamente, il primo influisce sugli eventi favorevoli del secondo, ed inoltre il fatto che robin colpisca r non è equiprobabile per ogni r...Poi pensandolo in quel modo cambiando la seconda condizione allora la probabilità non cambierebbe no? Se per esempio mettiamo che robin ha probabilità $f(r)$, ad esempio $\sqrt{r}$al posto di r seguendo quel ragionamento non dovrebbe cambiare nulla o sbaglio? Invece intuitivamente la probabilità dovrebbe diminuire...potrei sbagliarmi.
Comunque la mia soluzione è sbagliata. Perchè non ho tenuto conto del fatto che non è necessario che Robin tiri oltre r, può anche tirare dentro r e perdere lo stesso...

mhm... A questo punto mi sa che stiamo sbagliando entrambi XD invoco seriamente l'aiuto di qualcuno...

Perchè se come hai detto te la probabilità che il secondo tipo tiri più vicino al centro del secondo, se il secondo ha tirato a distanza $r$ dal centro, fosse $\sqrt{r}$, secondo il mio ragionamento (forse) si avrebbe che la probabilità totale è pari a $\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{r}\quad dr = \frac{2}{3}$ ( che quadra abbastanza, perchè essendo ogni probabilità maggiore di quella del "caso base" da noi considerato...)... Ma in questo caso nel caso precedente si avrebbe che la probabilità totale sarebbe pari a $\displaystyle \int_{0}^{1}r \quad dr = \frac{1}{2}$.

Insomma, dopo aver riflettuto a me pare che la seconda precisazione del testo annulli ogni considerazione inerente all'area considerata (nel senso classico in cui l'abbiamo considerata noi)...

Che a questo punto la risposta non sia un mezzo ?

Siano X e Y le variabili aleatorie che indicano le distanze dal centro cui tirano i due giocatori, rispettivamente Mr. Bean e Robin Hood, considerate le loro distribuzioni, ricavatevi da queste la distribuzione di X-Y, e calcolate P(X-Y<0), dal momento che Mr. Bean deve tirare più vicino...

E se ti dicessi che non ho idea di cosa sia una variabile aleatoria e la loro distribuzione?

Claudio. ha scritto:E se ti dicessi che non ho idea di cosa sia una variabile aleatoria e la loro distribuzione?

Semplice, te le spiego:

* Una variabile aleatoria reale di dimensione 1 è una funzione che associa ad ogni evento possibile dello spazio degli eventi considerato un numero reale. Per esempio, lanciando un dado, associa l'evento "esce la faccia con il numero n" al numero reale n (v.a. discreta); in questo caso, associa l'evento "tira a distanza x dal centro" con il numero reale x (v.a. continua).

* La distribuzione di una variabile aleatoria reale di dimensione 1 continua X è la funzione f(x) = P(X<x), o equivalenemente f(x) = P(X<=x), dal momento che nel caso continuo P(X=x) = 0. Tale definizione si può estendere anche al caso discreto e al caso misto, ma in tal caso in generale P(X=x) diverso da 0 e dunque P(X<x) diverso da P(X<=x) (ora al volo non ricordo in quel caso quale delle due quantità entra in gioco nella definizione).

Non ho capito, non è che puoi fare un esempio per le cose che hai detto ?