OliForum Matematico

Eseguendo la divisione con resto tra il polinomio $p_1(x) = −3x^{81} +10x^{41} +x^{27} +6x^{21} +2x^7 +x^2 +9x+53$ e il polinomio $p_2(x) = x^{20} +2$ si ottiene un certo polinomio
quoziente $q(x)$ e un polinomio resto $r(x)$, quest’ultimo con grado strettamente minore di $p_2(x)$.
Quanto vale $r(23)$?

razorbeard ha scritto:Eseguendo la divisione con resto tra il polinomio $p_1(x) = −3x^{81} +10x^{41} +x^{27} +6x^{21} +2x^7 +x^2 +9x+53$ e il polinomio $p_2(x) = x^{20} +2$ si ottiene un certo polinomio
quoziente $q(x)$ e un polinomio resto $r(x)$, quest’ultimo con grado strettamente minore di $p_2(x)$.
Quanto vale $r(23)$?

In $\mathbb{Z}/(x^{20}+2)\mathbb{Z}$ vale $p_1(x)=−3x^{81} +10x^{41} +x^{27} +6x^{21} +2x^7 +x^2 +9x+53= -3(-2)^4x+10(-2)^2x-2x^7+6(-2)x+2x^7+x^2+9x+53=x^2-11x+53=r(x)$.

Qual è il punto di quest'esercizio?

jordan ha scritto:

razorbeard ha scritto:Eseguendo la divisione con resto tra il polinomio $p_1(x) = −3x^{81} +10x^{41} +x^{27} +6x^{21} +2x^7 +x^2 +9x+53$ e il polinomio $p_2(x) = x^{20} +2$ si ottiene un certo polinomio
quoziente $q(x)$ e un polinomio resto $r(x)$, quest’ultimo con grado strettamente minore di $p_2(x)$.
Quanto vale $r(23)$?

In $\mathbb{Z}/(x^{20}+2)\mathbb{Z}$ vale $p_1(x)=−3x^{81} +10x^{41} +x^{27} +6x^{21} +2x^7 +x^2 +9x+53= -3(-2)^4x+10(-2)^2x-2x^7+6(-2)x+2x^7+x^2+9x+53=x^2-11x+53=r(x)$.

Qual è il punto di quest'esercizio?

Come dovresti aver capito da solo, è un esercizio per chi ha visto da poco Ruffini e la divisione tra polinomi, e quindi non sa utilizzare "dandole per scontate" le proprietà dei quozienti di anelli di polinomi. Quindi, visto che a Natale siamo tutti più buoni, potresti fare una cosa utile scrivendo una soluzione più terra-terra e alla portata di uno studente di liceo.

In realtà sarebbe un passo avanti come chiarezza anche chiamare correttamente gli anelli che usi, i tuoi $\mathbb{Z}$ andrebbero rimpiazzati con $\mathbb{Z}[x]$.

fph ha scritto:In realtà sarebbe un passo avanti come chiarezza anche chiamare correttamente gli anelli che usi, i tuoi $\mathbb{Z}$ andrebbero rimpiazzati con $\mathbb{Z}[x]$.

Ops

Comunque ok, quello che stiamo cercando e' il "resto" della divisione tra due polinomi, chiamiamoli $a(x),b(x)$. Sappiamo che esistono due polinomi $c(x),d(x)$ tali che $a(x)=b(x)c(x)+d(x)$, con il grado di $d(x)$ minore del grado di $b(x)$.

Nell'esempio di sopra l'unica cosa usata e' stata $x^{20k+1}= (x^{20}+2)q(x)+(-2)^kx$ (ed e' anche ovvio dal momento che $x^{20k+1}-(-2)^kx=x(x^{20k}-(-2)^k)$ e' divisibile per $x^{20}-(-2)$..)