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Quanti sono i triangoli i cui lati hanno misura intera e il cui perimetro è 508?

I triangoli congruenti fra loro devono essere considerati uguali?

Il testo non lo specifica,io credo di si

Sono 5376?

Si,è esatto ... come hai ragionato?

Beh chiaramente la somma dei lati deve essere 508, e poi deve valere la disuguaglianza triangolare, che in questo caso possiamo riassumere in: tutti i lati minori di 254. Ora abbiamo che definiti due lati il terzo è già determinato. Quindi chiamiamo $a,b$ due lati qualsiasi deve valere $a+b>254$ e contemporaneamente $a,b<253$ quindi definito $b$ abbiamo $253-(254-b)$ possibilità per $a$. Puoi notare che facendo variare b da 1 a 253, otteniamo la somma da 1 a 252 cioè $\frac{252\cdot253}2=31878$ triangoli ordinati possibili, ora dobbiamo stabilire quali abbiamo contato più volte. Triangoli equilateri non ce ne sono, dobbiamo contare quelli iscosceli:$a=b\Rightarrow a>127$ cioè $253-127=126$ possibilità che vanno moltiplicati per 3 che sono le possibilità di scelta per i due lati congruenti quindi $31878-3\cdot126=31500$ triangoli scaleni che abbiamo contato $3!=6$ volte. Quindi $\frac{31500}6=5250$ a cui riaggiungiamo gli iscosceli $5250+126=5376$
Probabilmente ci sarà qualche passaggio inutile ma non mi andava di rivederlo ^^

c'è un altro modo di vedere la cosa:

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