In effetti sembra larghissima e non vale neanche con l'uguale...
La prima cosa che viene in mente di fare è provare a togliere la somma delle radici di LHS, e il metodo più semplice per farlo è usare una AM-GM... Così ne viene una sola
$$
\displaystyle\sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{5a^2+5c^2+8b^2}{4ac}} \geq 3\left(\dfrac{\displaystyle\prod_{cyc} (5a^2+5c^2+8b^2)}{64a^2b^2c^2}\right)^{\frac{1}{6}}
$$
La speranza è che questa cosa sia maggiore del $RHS$... e facendo un pochettino di conti, togliendo quei brutti esponenti, bisognerebbe mostrare che
$$
\dfrac{\displaystyle\prod_{cyc} (5a^2+5c^2+8b^2)^3}{2^{18}a^6b^6c^6} \geq \dfrac{2^6(a+b)^4(b+c)^4(a+c)^4}{a^4b^4c^4}
$$
$5a^2+5c^2+8b^2$ è proprio brutto a vedersi così, allora tentiamo di farlo diventare un po' più simile agli altri... magari facendolo diventare simmetrico come il resto della compagnia... la cosa che viene subito in mente di fare è utilizzare Cauchy-Schwartz e scrivere $(5a^2+5c^2+8b^2)\left( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\right) \geq (a+b+c)^2 \Rightarrow (5a^2+5c^2+8b^2) \geq \dfrac{40}{21} (a+b+c)^2$. Questo vale allo stesso modo per le cicliche. Ora prendo la precedente e, per la disuguaglianza appena mostrata, la nostra speranza è che ora si verifichi
$$
\left(\dfrac{40}{21}\right)^9 (a+b+c)^{18} \geq 2^{24} \cdot a^2b^2c^2(a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4
$$
Tuttavia è semplice, usando tante volte AM-GM, mostrare che
$$
(a+b+c)^{18} \geq \dfrac{3^{18}}{2^{12}} a^2b^2c^2(a+b)^4(b+c)^4(a+c)^4
$$
e si conclude notando che $\dfrac{3^{18}}{2^{12}} \geq \dfrac{\left(\dfrac{40}{21}\right)^9}{2^{24}}$.
