Inviato: 01 gen 1970, 01:33
Avevo letto il seguente problema irrisolto nel forum:
<BR>Dato un triangolo ABC, trovare il luogo dei punti P del piano, al variare del parametro k, che minimizzano la relazione: AP^k+BP^k+CP^k
<BR>Penso di aver torvato la risposta...
<BR>Dobbiamo studiare i minimi della funzione
<BR>f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^k]
<BR>Ora, se assegnato un valore di k studiamo i minimi della funzione f(x,y), calcolando le derivate parziali, anche senza trovare il determinante Hessiano, abbiamo che:
<BR>D[f(x,y),x]=Sum[{i,1...3},k[2(x-ai)]^(k-1)]=0 per qualche x
<BR>Ma ciò non si verifica se k=3, infatti una somma di quadrati non può essere pari a zero, a meno che non siano zero in contemporanea tutti i suoi addendi, ma ciò è possibile solo se:
<BR>(x-ai)=0 per ogni i
<BR>Impossibile, pena la non triangolarità del triangolo, quindi esistono dei valori di k, infiniti, per cui la funzione non ha minimo.
<BR>Quindi il luogo geometrico è discontinuo.
<BR>Generalizzando la f(k,x,y) si ha che
<BR>Sum[{i,1..3},Fi(x,y)^k]
<BR>Una funzione così definita ha minimo, se nn ricordo male, quando sono uguali tutti gli Fi(x,y). Ciò significa che:
<BR>[(x-a2)^2+(y-b2)^2]=[(x-a2)^2+(y-b2)^2]=[(x-a3)^2+(y-b3)^2]
<BR>Ovvero il luogo dei punti equidistanti dai tre vertici, ovvero il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
<BR>Il luogo è un punto: il circumcentro del triangolo stesso.
<BR>Allora? Che ve ne pare? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Dato un triangolo ABC, trovare il luogo dei punti P del piano, al variare del parametro k, che minimizzano la relazione: AP^k+BP^k+CP^k
<BR>Penso di aver torvato la risposta...
<BR>Dobbiamo studiare i minimi della funzione
<BR>f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^k]
<BR>Ora, se assegnato un valore di k studiamo i minimi della funzione f(x,y), calcolando le derivate parziali, anche senza trovare il determinante Hessiano, abbiamo che:
<BR>D[f(x,y),x]=Sum[{i,1...3},k[2(x-ai)]^(k-1)]=0 per qualche x
<BR>Ma ciò non si verifica se k=3, infatti una somma di quadrati non può essere pari a zero, a meno che non siano zero in contemporanea tutti i suoi addendi, ma ciò è possibile solo se:
<BR>(x-ai)=0 per ogni i
<BR>Impossibile, pena la non triangolarità del triangolo, quindi esistono dei valori di k, infiniti, per cui la funzione non ha minimo.
<BR>Quindi il luogo geometrico è discontinuo.
<BR>Generalizzando la f(k,x,y) si ha che
<BR>Sum[{i,1..3},Fi(x,y)^k]
<BR>Una funzione così definita ha minimo, se nn ricordo male, quando sono uguali tutti gli Fi(x,y). Ciò significa che:
<BR>[(x-a2)^2+(y-b2)^2]=[(x-a2)^2+(y-b2)^2]=[(x-a3)^2+(y-b3)^2]
<BR>Ovvero il luogo dei punti equidistanti dai tre vertici, ovvero il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
<BR>Il luogo è un punto: il circumcentro del triangolo stesso.
<BR>Allora? Che ve ne pare? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">