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Nell'esagono ABCDEF tutti gli angoli sono uguali. La misura dei lati é tale che AB=CD=EF=3 e BC=DE=FA=2
Le diagonali AD e CF si intersecano in G. Dato un punto H su CD tale che DH=1 dimostrare che il triangolo EGH é equilatero.

Si ha subito che AD è parallela a EF, BC perchè l'esagono è equiangolo, e similmente sono parallele anche AB, CF, DE. Ora per il teorema del coseno ho che:
$ HE = \sqrt{DH^2 + DE^2 - 2 \cdot DH \cdot DE \cdot cosHDE}=\sqrt{1+4+2} = \sqrt{7} $
Inoltre per quanto detto ABCG è parallelogramma, e dato che ABC misura 120° ne segue che il triangoo AGF è equilatero. Poichè AF=2 per ipotesi, ho che GF=2. Ora per Talete su ABCF ho che CF=5 e quindi CG=CF-GF=3. Ora per il teorema del coseno:
$ GH=\sqrt{CG^2 + CH^2 -2 \cdot CG \cdot CH \cdot cosGCH}=\sqrt{9+4-6}=\sqrt{7} $
$ GE=\sqrt{FG^2 + FE^2 -2 \cdot FG \cdot FE \cdot cosGFE}=\sqrt{4+9-6}=\sqrt{7} $
Ho applicato che GCH e GFE sono di 60°, che segue da quanto affermato precedentemente.
Ho quindi ottenuto la tesi dal momento che EG=GH=HE.

Giusto! Io lo ho fatto mettendo nel piano cartesiano. Comunque capite il livello dei nazionali danesi se questo doveva essere il più difficile o il secondo più difficile.

alunik ha scritto:Giusto! Io lo ho fatto mettendo nel piano cartesiano. Comunque capite il livello dei nazionali danesi se questo doveva essere il più difficile o il secondo più difficile.

Ripensandoci potevo anche usare il fatto che i triangoli GFE, GCH sono congruenti. Beh, sì, il livello sembra molto modesto.

Oppure per farla tutta tutta puramente euclidea (senza calcoli) si poteva dire che dal fatto che EGF e GCD sono congruenti deriva che $\hat{EGF} + \hat{HGC} = 120°$ (questo perchè $\hat{DCG}=\hat{EFG} = 60°$) e quindi $\hat{EGP} = 60°$...

Mist ha scritto:Oppure per farla tutta tutta puramente euclidea (senza calcoli) si poteva dire che dal fatto che EGF e GCD sono congruenti deriva che $\hat{EGF} + \hat{HGC} = 120°$ (questo perchè $\hat{DCG}=\hat{EFG} = 60°$) e quindi $\hat{EGP} = 60°$...

Sì, mi riferivo proprio a questo. Voglio credere che sia di un po' di anni fa.

ah ok scusami, non avevo capito

E se vi dicessi che era la gara di questa mattina? Problema numero 5 di 5?