OliForum Matematico

Non sapevo se postarlo qui o in geometria...
In un poliedro convesso con m facce triangolari (e possibilmente altre facce di altra forma), esattamente 4 spigoli "confluiscono" in ogni vertice. Trovare il minimo valore possibile di m.

$ m=8 $ considerando un ottaedro

è un upper bound buttato lì a caso, o ci stai dicendo che secondo te quella soluzione?
nel secondo caso, una dimostrazione?

ma_go ha scritto:è un upper bound buttato lì a caso, o ci stai dicendo che secondo te quella soluzione?
nel secondo caso, una dimostrazione?

è una soluzione buttata li dal momento che non mi sono venuti in mente altri solidi con tale proprietà... (ma sicuramente $ m=8 $ è migliorabile)

beh, almeno hai uppato il problema (e non ti dico neanche se si può fare di meglio ).
qualcuno rilancia (magari con dimostrazione)?

Re-up! Hint:

E' da tempo che non mi loggo; comuqnue sì la soluzione è corretta! Magari ora scrivi una dimostrazione xD

Metto la mia, allora, si ha che per la relazione di Eulero F+V-S=2.
Ora le facce sono m (triangolari) + k (non triangolari, che hanno in media j spigoli e j vertici ognuna, $ j \in \mathbb{Q} $)
I vertici sono $ \frac{3m+jk}{4} $ perché in ogni vertice confluiscono 4 spigoli.
Gli spigoli sono $ \frac{3m+jk}{2} $ perchè ogni spigolo è sempre condiviso da due facce.
Quindi ho che:
$ \frac{4(m+k)+(3m+jk)-2(3m+jk)}{4}=2 \ ; \ \frac{m+(4-j)k}{4}=2 \ ; \ m+(4-j)k=8 $
Ora ho che j>3 (le altre facce non sono triangolari) da cui 4-j<1 quindi , ma $ 4-j = \frac{8-m}{k} \rightarrow \frac{8-m}{k} < 1 \rightarrow m+k > 8 $
Quindi se ci sono facce non triangolari il numero totale delle facce è maggiore di 8.
Se invece le facce sono triangolari banalmente $ F=m \ ; \ V=\frac{3m}{4} \ ; \ \frac{3m}{2} \rightarrow m=8 $ e l'ottaedro è l'esempio che funziona per m=8.

MI pare corretta

Karl Zsigmondy ha scritto:(...) k (non triangolari, che hanno in media j spigoli e j vertici ognuna, $ j \in \mathbb{Q} $)
I vertici sono $ \frac{3m+jk}{4} $ perché in ogni vertice confluiscono 4 spigoli.
Gli spigoli sono $ \frac{3m+jk}{2} $ perchè ogni spigolo è sempre condiviso da due facce.
(...)

premetto che la soluzione è corretta, ed è esattamente quella che avevo in mente. premetto anche che probabilmente sarebbe una soluzione da 7 punti in un qualunque contest. tuttavia, se proprio vogliamo spaccare il capello (o qualcos'altro che comincia per 'c')...
a gusto personale (ma probabilmente anche altri gradirebbero), la quantità $j$ che hai definito non è proprio bellissima (né forse del tutto ineccepibile, da cui il "probabilmente" sopra). soprattutto considerando che puoi scrivere tutto in maniera molto pulita, chiamando $F_\ell$ il numero di facce con $\ell$ lati, e scrivendo $\sum \ell F_\ell$ e $\sum F_\ell$ ove necessario, al posto di $jk$ e $k$ rispettivamente.
mi rendo conto che a te (e molti altri) questa cosa può sembrare puntigliosa ed inutile, ma:
- non ti costa quasi nulla in termini di spazio;
- il "numero medio di spigoli per faccia" potrebbe non essere un concetto universalmente condiviso (anche se si capisce cosa vuoi dire).