OliForum Matematico

Non so' se l'argomento sia davvero da matematica non elementare, comunque...
Qualche mese fa il nostro prof. di matematica ci disse che le approssimazioni all'ennesima cifra decimale di radice di due formano due successioni, di maggioranti e minoranti, che convergono per $ n \to \infty $, proprio a radice di 2. Ovvero: $ 1<\sqrt 2 < 2 $, $ 1,4 < \sqrt 2<1,5 $, $ 1,41<\sqrt 2<1,42 $ ....., la successione di minoranti sarebbe:
$ (1; 1,4 ; 1,41.... $, quella dei maggioranti $ (2 ; 1,5 ; 1,42.....) $.
Mi interessa capire come dimostrare questo fatto, e come impostare e risolvere il limite.

Prima devi capire come definire bene la successione dei maggioranti e quella dei minoranti, dopodiché non dovrebbe essere difficile. Oppure, se ti scoccia definirle per bene, prova a iniziare a dimostrare questo: se $ a_n $, $ b_n $ sono due successioni di numeri reali e $ c $ un numero tali che $ a_n<c<b_n $ per ogni $ n $ e $ lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 $, allora $ lim_{n\to\infty}b_n=lim_{n\to\infty}a_n=c $. Ti accorgerai, anche senza definire per bene le successioni dei maggioranti e dei minoranti, che ci troviamo proprio in questo caso.

Comunque si, è di matematica non elementare perché, benché il quesito sia semplice, i limiti non sono argomento olimpico.

@Hawk: tanto per cominciare, qual è la tua definizione di limite?

La mia era curiosità perchè di limiti ne so molto poco. La definizione intuitiva che posso dare è che il limite della successione è il valore a cui converge l'ennesimo termine della successione quando $ n $ tende a infinito. Comunque non credo di avere gli strumenti necessari per risolvere il quesito di Julio. Giusto per capire come proseguire potresti mostrarmi la dimostrazione? Così potrei studiarmi quello che mi manca.

EDIT: Forse no.

Ci ho ripensato .
Per il teorema della differenza dei limiti ho che: $ \lim_{n \to \infty} (b_n-a_n)=\lim_{n \to \infty} b_n-\lim_{n \to \infty} a_n=0 $ da cui $ \lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} a_n $. Ma adesso noto allora che la successione $ b_n $ è decrescente, mentre $ a_n $ è crescente. I termini di $ a_n $ sono sempre inferiori di $ c $, mentre i termini di $ b_n $ sono sempre superiori a $ c $, ma siccome ho che $ \lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} a_n $, esse convergono a $ c $.

Hawk ha scritto:Ma adesso noto allora che la successione $ b_n $ è decrescente, mentre $ a_n $ è crescente.

Questo non ti serve, infatti non l'avevo messo nelle ipotesi (anche se nel caso di $ \sqrt2 $ è vero).

Hawk ha scritto:I termini di $ a_n $ sono sempre inferiori di $ c $, mentre i termini di $ b_n $ sono sempre superiori a $ c $, ma siccome ho che $ \lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} a_n $, esse convergono a $ c $.

Si vede che c'è l'idea, ma per formalizzare bene sarebbe meglio una cosa del tipo:

I termini di $ a_n $ sono sempre inferiori di $ c $, mentre i termini di $ b_n $ sono sempre superiori a $ c $, quindi $ \lim_{n \to \infty} a_n\leq c\leq\lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} a_n $ e le disuguaglianze sono in realtà uguaglianze

Con questo lemmino, dovrebbe ora esserti abbastanza chiaro che quelle due successioni convergono a radice di 2. In ogni caso, è meglio se dai un'occhiata alla definizione rigorosa di limite.

Ti ringrazio Julio. Adesso è chiaro.