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Trovare tutte le soluzioni dell'equazione intere positive: $ x^2+y^2+z^2=2xyz $
P.S. Non ho la soluzione.

$ QM\ge GM $ quindi:$ x^2+y^2+z^2\ge 3xyz $ che negli interi positivi è chiaramente maggiore di $ 2xyz $
Quindi $ x^2+y^2+z^2\ge 3xyz>2xyz $. E l'equazione non ha soluzioni intere positive.

Dovrebbe funzionare anche per discesa infinita modulo 4. Infatti se x,y,z sono dispari é impossibile modulo 4. Ma se uno é pari allora anche gli altri sono pari, e così via...

Allora, intanto notiamo che ci deve essere un numero dispari di pari fra x,y e z (il primo termine sarebbe altrimenti dispari mentre il secondo è sempre pari)
Caso in cui solo uno dei 3 è pari (supponiamo sia x)
Riscrivendo x come 2m y come 2n+1 e z come 2l+1 e svolgendo le operazioni, a sinistra otteniamo un numero congruo a 2 modulo 4, mentre a destra un numero congruo a 0 modulo 4. Nel primo caso non abbiamo dunque nessuna soluzione
Caso in cui siano tutti e 3 pari
Riscrivo le tre variabili rispettivamente come 2m, 2n e 2l. Svolgendo le operazioni ottengo
$ 4m^2+4n^2+4l^2=16mnl $
Dividendo per 4
$ m^2+n^2+l^2=4mnl $
Ottengo quindi un caso molto simile a quello di partenza: per avere soluzioni intere ci devono essere o 1 o 3 variabili pari. Nel primo caso otteniamo la stessa cosa (numero a sinistra congruo a 2 modulo 4 e a numero a destra congruo 0 modulo 4)
Nel secondo ottengo la stessa cosa che nel nostro secondo caso (solo che a destra avrò 32mnl invece di 16 mnl).
Applicando la discesa infinita dunque otteniamo che l'unica soluzione è la terna (0;0;0)
Spero di non aver sbagliato come al solito...

@ Dandav: attento perché nel tuo conto GM non è elevata al quadrato come QM, ma al cubo.

Ragazzi vorrei che mi aiutaste a capire se la mia soluzione è valida o se non é applicabile in questo contesto, perchè non ho le idee ben chiare..

Cmq, se due numeri sono uguali allora anche le loro derivate lo saranno; questa è una condizione necessaria ma non sufficiente in quanto due numeri che differiscono di una costante hanno le derivate uguali; ma dovrebbe andare bene lo stesso

A condizione che nessuno fra x, y, z sia uguale a zero, calcolo la derivata prima e ottengo
$ x + y + z = xy +xz + yz $ ; derivando ancora ho $ 3 = 2(x+y+z) $, e con x, y, z naturali é impossibile..

Se uno fra x,y,z = 0 allora è facile vedere che l'unica soluzione é (0,0,0)

Non sono sicuro che le implicazioni che ho fatto siano corrette...

ant.py ha scritto:perchè non ho le idee ben chiare..

temo di si... per te cos'è una derivata?

ant.py, penso (e spero) tu non abbia ancora studiato il concetto di derivata...intanto per parlare di "derivata" bisogna parlare di una funzione e di un punto del suo dominio, poi bisogna parlare di incremento e di tante altre cose che ora non è il caso di provare a spiegare...Ad ogni modo , si deriva rispetto a una variabile (tu stavi cercando di derivare rispetto a un'incognita, o qualcosa del genere), perchè nel concetto di derivata c'è il concetto di variazione...le incognite sono numeri sconosciuti, ma "fissi", quindi non ha proprio senso parlare di derivazione in questo problema qua. Ultima cosa, si deriva rispetto a UNA variabile, qua in ogni caso ce ne sarebbero tre (anche se ci tengo a ribadire che è privo di senso approcciare questo problema con delle derivazioni) xD Mi sa che ti sei fatto un'idea abbastanza sbagliata insomma...ti consiglio di dimenticare quello che sai sulle derivate e ricominciare da capo! Va bene anche un normale libro da liceo

Uhm.. Già, seguirò il tuo consiglio, effettivamente le derivate non hanno tanto senso.. Ieri avevo le idee un po' confuse però ho capito effettivamente la vallata che stavo facendo.. Grazie a tutti e due