OliForum Matematico

(Kvant,1970,2,M7)
Siano a,b,c i lati di un triangolo. Dimostrare che:
$ \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3 $

Faccio la classica sostituzione:
$ x = \frac{b+c-a}{2} $
$ y = \frac{a+c-b}{2} $
$ z = \frac{b+a-c}{2} $
Ora x, y, z sono reali positivi qualsiasi (sono la misura dei segmenti che collegano un vertice ad uno dei 2 punti di tangenza con l'incerchio più vicini). La disuguaglianza diventa quindi:
$ \frac{y+z}{2x} + \frac{z+x}{2y} + \frac{x+y}{2z} \geq 3 $
Che facendo i conti diventa:
$ x^2y + xy^2 + y^2z + zy^2 + z^2x + zx^2 \geq 6xyz $
Vera per Bunching oppure AM-GM.